Principio de incertidumbre relativista: ¿posición y tiempo propio o momento?

Todo depende del sistema que estés describiendo.

Primer sistema cuantificado

Por ejemplo, es posible cuantificar la siguiente acción (primera cuantificación) para la partícula puntual relativista:

$$S[X] = -m c \int d{\lambda} \sqrt{g_{\mu \nu} \dot{X}^{\mu} \dot{X}^{\nu}},$$

dónde$\dot{X}$representa$dX/d\lambda$y$\lambda$es un parámetro no físico arbitrario que se usa para etiquetar los puntos de la línea del mundo con números reales.

Cuando cuantificas este sistema, tu espacio de Hilbert cinemático (sin restricciones)$\mathcal{K}$es un espacio de funciones de espacio-tiempo rápidamente decrecientes:

$$\Psi(t,\mathbf{r}) \in \mathcal{K}.$$

Al igual que en el caso no relativista, las relaciones de incertidumbre se leen

$$\Delta{x} \Delta{p} \le \frac{\hbar}{2},$$

pero también hay otra relación

$$\Delta{t} \Delta{E} \le \frac{c \hbar}{2}$$

que encontramos anteriormente como la relación de incertidumbre tiempo-energía, solo que en esta descripción es un ciudadano de primera clase.

Sin embargo, la imagen se oscurece por la existencia de restricciones. El espacio físico de Hilbert$\mathcal{H}$está dada por aquellos elementos de$\mathcal{K}$que son soluciones de la ecuación de Klein-Gordon. (Para ser precisos, por elementos de$\mathcal{K}^{*}$que desaparecen cuando se evalúan en soluciones de la ecuación de Klein-Gordon).

Segundo sistema cuantificado

O puede saltar directamente a la teoría cuántica de campos e inspeccionar el lagrangiano de Klein-Gordon como un lagrangiano para el campo cuántico. Entonces tendrás funciones de onda.

$$\Psi[\phi(\mathbf{r})]$$

como estados, y la relación de incertidumbre se lee

$$\Delta \phi \Delta \pi \le \frac{h}{2}$$

con$\pi(\mathbf{r})$los momentos canónicos para$\phi(\mathbf{r})$.

Esta descripción se considera más fundamental. Las relaciones de incertidumbre de posición-momento y tiempo-energía para partículas elementales se derivan de esto si se consideran las fluctuaciones del estado de vacío del campo (estados de partículas elementales).