¿Cómo obtengo observables para calcular la incertidumbre?

Puedes trabajar en la representación del puesto. No es difícil:

$$\langle \psi \mid[x,p] \mid \psi \rangle = \langle \psi \mid (xp-px)\mid \psi \rangle =\\=\int dx \ \psi^*(x) \left(-i \hbar x \ \partial_x \psi(x) + i \hbar \ \partial_x (x \ \psi(x)) \right) = \\ =-i \hbar \int dx \ \psi^* \left(x \ \psi'-(\psi+x \ \psi')\right) = \\ =i \hbar \int dx \mid \psi(x)\mid^2 = i \hbar$$

Lo que tienes que darte cuenta es que las identidades$\hat x = x$y$\hat p = -i \hbar \partial_x$son significativos solo si expresa los operadores en la base de la posición, es decir

$$\langle x' \mid \hat p \mid \psi \rangle = -i \hbar \partial_{x'} \ \psi(x') \\ \langle x' \mid \hat x \mid \psi \rangle = x' \ \psi(x')$$

dónde

$$\langle x' \mid \psi \rangle = \psi(x')$$

es la función de onda en la base de posición. También puede elegir la representación del impulso:

$$\langle p' \mid \hat p \mid \psi \rangle = p' \tilde \psi(p')\\\langle p' \mid \hat x \mid \psi \rangle = i \hbar \partial_{p'} \tilde \psi(p')\\\langle p'\mid \psi \rangle =\tilde \psi(p')$$

El resultado será el mismo.

En general, cada vez que tienes un operador hermitiano$A$con un conjunto completo de vectores propios$\{\mid a \rangle\}$, en principio puede expresar sus vectores de estado (kets) y operadores en el$\{\mid a \rangle\}$pero la forma matemática de los operadores puede volverse engorrosa si elige la representación "incorrecta". Por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento es un buen operador diferencial en la base de posición$\{\mid x \rangle\}$, pero podría volverse feo si se expresara en otra base.

Volviendo a lo que querías calcular, obtenemos

$$\Delta x \Delta p \geq \frac 1 2 \mid i \hbar \mid = \frac \hbar 2$$

que es el conocido principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el momento.

Los observables son operadores, en particular son del tipo autoadjunto (con espectro discreto que abarca todo el espacio de Hilbert). Dado un estado normalizado$|\psi\rangle$, el valor esperado de un operador$A$por lo tanto se define como$\langle A \rangle = \langle\psi |\, A\, |\psi\rangle$; de manera equivalente, se puede probar que la incertidumbre en la medida del operador$A$sobre el estado$|\psi\rangle$se puede expresar como

$$\Delta A_{|\psi\rangle} = {\langle A^2 \rangle}_{|\psi\rangle} - {(\langle A\rangle)^2}_{|\psi\rangle}.$$

Se le da la expresión del estado inicial y su función de onda, por lo tanto, puede calcular los valores esperados de (cualquier potencia) de los operadores$\hat{x}$y$\hat{p}$insertando el operador de identidad$1 = \int \textrm{d}x’ |x’ \rangle \langle x’ |$a la izquierda (respectivamente a la derecha) y realizar las integraciones. Deberías terminar con las integrales usuales de la función de onda contra su variable menos la derivada.

Sé que el operador de cantidad de movimiento se define como$-i\hbar \partial_x$...

Eso está mal. El operador de cantidad de movimiento es$\hat{p}$y uno tiene$\langle x| \hat{p} |\psi\rangle = -i\hbar \partial_x \psi(x)$.