Principio de Hamilton: lograr ecuaciones de Hamilton

Question

Principio de Hamilton: lograr ecuaciones de Hamilton

acción
Física
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
formalismo hamiltoniano
principio variacional

elio pereira

Considere la función de acción:

S (t) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q_{i}, \dot{q_{i}}, t) d t

$\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}(q_i,\dot{q_i},t) dt$

dónde $\mathcal{L}$ es el lagrangiano del sistema.

El hamiltoniano se define mediante la siguiente expresión:

H (q_{i}, {pag}_{i}, t) = \dot{q_{i}} {pag}_{i} - L (q_{i}, \dot{q_{i}}, t)

$\mathcal{H(q_i,p_i,t)}=\dot{q_i}p_i-\mathcal{L}(q_i,\dot{q_i},t)$

Entonces tenemos,

S (t) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\dot{q_{i}} {pag}_{i} - H (q_{i}, {pag}_{i}, t)] d t

$\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\left[\dot{q_i}p_i-\mathcal{H}(q_i,{p_i},t)\right] dt$

El principio de Hamilton dice que $\delta\mathcal{S}=0$ .

Entonces tenemos,

d S (t) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [d (\dot{q_{i}} {pag}_{i}) - d H (q_{i}, {pag}_{i}, t)] d t

$\delta\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\left[\delta(\dot{q_i}p_i)-\delta\mathcal{H}(q_i,{p_i},t)\right] dt$

Encontré en Goldstein 3ra edición que consideraron el siguiente paso como

d S (t) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (d \dot{q_{i}} {pag}_{i} + \dot{q_{i}} d {pag}_{i} - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i} - \frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}} d {pag}_{i}) d t

$\delta\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\left(\delta\dot{q_i}p_i+\dot{q_i}\delta p_i- \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_i}\delta q_i - \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_i}\delta p_i \right)dt$

¿No se perdieron la $\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t}\delta t$ término resultante de $\delta\mathcal{H}$ ?
Una pregunta más: ¿Es cierto que $\frac{d}{dt}(\delta q_i)=\delta \dot{q_i}$ ?

Respuestas (3)

Principio de Hamilton: lograr ecuaciones de Hamilton

qmecanico · Answer 1

No, no suele haber variación de las coordenadas independientes (en este caso: la coordenada de tiempo $t$ ), al derivar ecuaciones de Euler-Lagrange. Solo las variables dependientes (en este caso: $q^i(t)$ y $p_i(t)$ ) son variados.
Sí, $\frac{d}{dt}(\delta q^i)=\delta \dot{q^i}$ , consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE, que también analiza situaciones en las que no es el caso.

1. solo es cierto si el lagrangiano o hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo/cualquiera que sea el parámetro.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange. (para la última acción funcional de OP) siguen siendo las ecuaciones de Hamilton. incluso si el hamiltoniano depende explícitamente de $t$ .

pablo t · Answer 2

La derivación debería funcionar incluso para hamiltonianos dependientes del tiempo. El tema es que no estamos considerando variaciones de la parametrización del tiempo, por lo que $\delta t = 0$ .

tienes razón en eso $\delta \dot q = \frac{d}{dt}\delta q$ . Básicamente, la operación de variación se define en términos de una derivada, por lo que conmuta con derivadas regulares.

Las ediciones antiguas de Goldstein tienen un capítulo sobre el cálculo de variaciones como herramienta matemática, separada de las aplicaciones físicas. Si ese capítulo todavía existe en su edición, es posible que desee revisarlo.

Solo una nota, no creo que su explicación sobre la segunda pregunta esté completa. Ambas derivadas en cuestión son derivadas totales, y las derivadas totales no conmutan en general, solo las parciales necesariamente lo hacen. Se requiere alguna justificación adicional de por qué estos dos en particular lo hacen.
Como dijiste en tu respuesta, la variación se parametriza independientemente del tiempo, por lo que las dos derivadas se conmutan. Omití los detalles, porque el instructor en mí espera que OP lo demuestre por sí mismo.

Aproximadamente cierto · Answer 3

EDITAR:

Para la primera parte, después de leer el enfoque de Goldstein, no parece que asuma que el hamiltoniano es genéricamente independiente del tiempo, es decir $\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\neq 0$ en general. Sin embargo, dado que estamos realizando nuestra variación en lugar de la "ruta", y no tiene sentido para $t$ tener alguna dependencia (implícita o explícita) en el camino, por lo que su variación debe ser $\delta t=0$ . (En la derivación estándar, consideramos una perturbación $\epsilon \eta (t)$ a la ruta con las condiciones de contorno apropiadas y variar wrt para $\epsilon$ , claramente debemos tener $\frac{\delta t}{\delta \epsilon}=0$ .)

Para la segunda parte, ya que estamos variando $\mathcal S$ escribir el camino, y esto es completamente independiente de la derivada con respecto a $t$ , las dos derivadas se conmutan y la expresión que has establecido es verdadera. (En la derivación estándar, variamos wrt a $\epsilon$ pero eso no es esencial - lo que es es que una variación respecto al camino, como quiera que "parametricemos" esta variación, es independiente de una derivada respecto al tiempo a nivel conceptual).

Estoy bastante seguro de que lo que dice OP en la segunda pregunta es cierto. El Lagrangiano es una función de las coordenadas y velocidades pero la acción es una función del camino, y en todo el camino no puedes variar $q$ y $\dot{q}$ independientemente.
Puede ver el enfoque de Goldstein en las notas de David Tong (página 87) damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/clas.pdf
@Javier tienes toda la razón, me di cuenta de eso cuando pensé en lo que estamos variando con respecto a, y edité mi respuesta en consecuencia.

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