Motivando la Transformada de Legendre Matemáticamente

Question

Motivando la Transformada de Legendre Matemáticamente

Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
principio variacional

bolbteppa

Si empiezo con un funcional de la forma

j [y] = \int_{a}^{b} F (X, y, y^{'}) d X

$J[y] = \int_a^b f(x,y,y')dx$

y encuentre sus ecuaciones de Euler-Lagrange

\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} = 0 = \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} .

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} = 0 = \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y}.$

Termino con una ODE de segundo orden

\frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = (\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{'} \partial y^{'}}) \frac{d^{2} y}{d X^{2}} + (\frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial y^{'}}) \frac{d y}{d X} + \frac{\partial^{2} F}{\partial X \partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = 0

$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial y' \partial y'} \right) \frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y'}\right) \frac{dy}{dx} + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

Ahora, cada ODE de orden superior se puede dividir en un sistema de ODE de primer orden en $y$ y la derivada $M = \frac{dy}{dx}$ , donación

\frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = (\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{'} \partial y^{'}}) \frac{d METRO}{d X} + (\frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial y^{'}}) METRO + \frac{\partial^{2} F}{\partial X \partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = 0.

$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial y' \partial y'} \right) \frac{d M}{dx} + \left(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y'}\right)M + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0.$

Desde esta perspectiva, las ecuaciones de Hamilton

{\begin{matrix} \frac{d y}{d X} = \frac{\partial H}{\partial pag} \\ \frac{d pag}{d X} = - \frac{\partial H}{\partial y} \end{matrix}

$\left\{ \begin{array} & \frac{dy}{dx} = \phantom{-}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}\\ \frac{d p}{dx} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y} \end{array}\right.$

son simplemente un sistema de ecuaciones de primer orden que hace que mi sistema anterior de EDO de primer orden parezca más simétrico, después de un cambio adecuado de variables.

Mi pregunta es, mirando

\frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = (\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{'} \partial y^{'}}) \frac{d^{2} y}{d X^{2}} + (\frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial y^{'}}) \frac{d y}{d X} + \frac{\partial^{2} F}{\partial X \partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = 0

$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial y' \partial y'} \right) \frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y'}\right) \frac{dy}{dx} + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

debería ser posible ver por qué surge la transformación de Legendre, primero porque es una transformación que usa derivadas para cambiar variables pero también porque debería hacer que algunos términos vayan a cero en esta oda de segundo orden para que todo se vea mejor, pero ¿cómo ven? esto explícitamente?

Sería genial si pudieras usar mi notación, es decir. $J[y]$ etc... como ven me colé $\mathcal{H}$ en lo anterior, que realmente no debería estar allí, me encantaría ver cómo se produce eso en mi notación, ¡gracias!

qmecanico

Más información sobre la Transformación de Legendre: physics.stackexchange.com/q/4384/2451 y sus enlaces.

qmecanico

Cruzado a math.stackexchange.com/q/476627/11127

Respuestas (2)

Motivando la Transformada de Legendre Matemáticamente

Más información sobre la Transformación de Legendre: physics.stackexchange.com/q/4384/2451 y sus enlaces.

Emilio Pisanty · Answer 1

Si entiendo su pregunta correctamente, está solicitando una vista bastante peatonal de la transformación de Legendre, que es una forma mucho más elegante de transformar un sistema de ODE en ODE de primer orden de lo que puede verse de esta manera. Le recomendaría que eche un vistazo a los métodos matemáticos de la mecánica clásica de V. Arnold para ver cómo funciona realmente la transformación de Legendre y por qué la usamos.

Está malinterpretando un poco la transformación a la variable de momento, que se define como

\begin{matrix} (1) & pag = \frac{\partial F}{\partial y^{'}} \end{matrix}

$p=\frac{\partial f}{\partial y'}\tag{1}$ y no directamente proporcional a

y^{'}

$y'$ . Los dos son proporcionales sólo en la circunstancia limitada de que

f = \frac{1}{2} m (y^{'})^{2} - V (y)

$f=\frac 12 m(y')^2-V(y)$ , y la relación es en general más complicada. Lo único que necesita es que (1) sea una transformación de coordenadas adecuada, lo que significa preguntar por la arpillera

\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{'} \partial y^{'}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y'\partial y'}$ ser no singular y definido positivo; queda claro de eso que la dependencia funcional de

p

$p$ en

y^{'}

$y'$ y

y

$y$ puede ser muy general de hecho.

Dado esto, si solo quiere ver cómo esto limpia la notación, es mucho mejor que no desmembra la ecuación original de Euler-Lagrange,

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} - \frac{\partial F}{\partial y} = 0, \end{matrix}

$\frac d{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\tag{2},$ que se convierte en las ecuaciones de Hamilton

{\begin{matrix} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} = pag, \\ \frac{d pag}{d X} = \frac{\partial F}{\partial y}, \end{matrix}

$\left\{\begin{array} & \frac{\partial f}{\partial y'}=p,\\ \frac{d p}{dx}=\frac{\partial f}{\partial y}, \end{array}\right.$ simplemente sustituyendo en la definición correcta (1) e invirtiendo la primera ecuación para obtener

\frac{d y}{d x}

$\frac{dy}{dx}$ en términos de

p

$p$ y

y

$y$ , o simplemente darse cuenta de que es parte de un sistema de dos EDO de primer orden en

y

$y$ y

p

$p$ .

Gracias por la información, pero esperaba que al desmembrar las ecuaciones EL veríamos desaparecer algunos términos o algo así cuando hacemos un cambio particular de variables. Estaba leyendo Cálculo de variaciones de Gelfand y una de las muchas motivaciones que da es que simplemente queremos hacer que el sistema de primer orden resultante de este desmembramiento se vea más simétrico, y esperaba que fuera obvio cuando miras la oda de segundo orden , pero incluso después de sustituir su $p = \frac{\partial f}{\partial y'}$ todavía parece arbitrario en este contexto, esperaba que la necesidad del LT simplemente
saltar del desmembramiento o de lo que sucede después de dividirlo en un sistema de odas de primer orden. ¿Realmente no hay manera de ver la necesidad del LT desde esta perspectiva? Parece que debería haberlo, ya que LT es una transformación que involucra derivadas y en nuestra ODE de segundo orden básicamente estamos tratando de eliminar las derivadas para que las cosas se vean más simétricas, si piensas en algo o notas algo, te lo agradecería mucho.
Creo que ' salta' de la ecuación EL original. Quiere cambiar las variables a algunas $p=p(y,y')$ lo que hará que la ecuación (2) sea de primer orden en $p$ ? Entonces la elección más simple es lo que hay dentro. $\frac{d}{dx}\left[\cdots\right]$ . Todo lo que necesita hacer entonces es probar que su definición da una segunda EDO de primer orden. Si quieres hacerlos simétricos, necesitas invertir $\partial f/\partial y'$ , pero creo que este es un pequeño precio a pagar una vez que tienes tu ecuación en $p'$ .

Nick Boshaft · Answer 2

Primer comentario menor sobre la útil respuesta de Emilio. En su ecuación (2) está claro que "f" es el Lagrangiano, generalmente llamado "L". Lo interesante es que en el hallazgo de Emilio de las "ecuaciones de Hamilton" las encuentra en términos de "f", entonces a) eso significa que L satisface las ecuaciones de Hamilton, si no me equivoco. b) Esto se hizo sin utilizar la transformación completa de Legendre. Específicamente, no se aplicó el término de Legendre "p * x".

Ahora a la pregunta original, cómo y por qué surge la transformación de Legendre (al pasar de la mecánica lagrangiana a la mecánica hamiltoniana). . Parece esperanzador que las ecuaciones de primer orden puedan resolverse más fácilmente. ii) Para mí la segunda razón más motivadora no se encuentra en las ecuaciones de Lagrange, sino en la propia Transformada de Legendre. En mi experiencia, las transformadas, por ejemplo, Fourier o Laplace, se usan para llegar a una forma diferente donde se pueden resolver, pero luego esa solución "quiere" volver a transformarse en el conjunto original de variables para interpretar y usar. Entonces, nos gustaría la transformación de una ecuación de segundo orden en (x,dx/dt) a un par de ecuaciones de primer orden en (x, p) ser reversible. Ahora mira la definición de la Transformación de Legendre: H(x,p) = px - L(p,x) (IV) habiendo utilizado la ec. (1) de una manera directa para reformular L en términos de diferentes nombres de variables. De la misma manera, podemos renombrar las variables en H y reorganizar (IV) para obtener: L(x, dx/dt) = p x - H(x,dx/dt) (V) ¡Voila! Tenemos la transformada inversa de Legendre.

Si aún no está lo suficientemente motivado, una vez que llega a la forma hamiltoniana, hay otras simetrías y beneficios. Consulte https://www2.ph.ed.ac.uk/~mevans/sp/LT070902.pdf

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