Preguntas sencillas sobre el cálculo de los términos F de SUSY

El índice$i$en el término potencial

$$V_F = F_i F^*_i$$ es un atajo para un índice que etiqueta todos los supercampos quirales. Entonces, si dos supercampos quirales están organizados en un $SU(2)$doblete, que es el caso de $H_u$, todavía estamos teniendo diferentes $i$para los dos componentes. Efectivamente, también estamos sumando los dos componentes del doblete.

Tal$F_iF^*_i$Es claramente$SU(2)$-invariante. El$U$en$SU(2)$significa unitario y este adjetivo significa precisamente que expresiones bilineales como$F_i F^*_i$son invariantes bajo las transformaciones. Así son. Aquí estoy asumiendo que$i$corre sobre una base ortonormal; debería.

el superpotencial$W$en sí mismo debe ser$SU(2)_W$-invariante y calibre-invariante, para el caso. Los campos en su superpotencial de Yukawa que se transforman de manera no trivial son$Q$y$H_u$. Tenga en cuenta que en sus convenciones, ni$Q$ni$H_u$está siendo complejo conjugado en el producto que aparece en$W$. Significa que para construir un$SU(2)$invariante, su$SU(2)$los índices de doblete deben contratarse mediante$\epsilon^{ij}$porque hay dos índices iguales de dos valores allí. Como podría suponer a partir de la conservación de la carga eléctrica, el componente superior (carga eléctrica) de un doblete se multiplica por el componente inferior (carga eléctrica) del otro doblete.

Para consolidar las respuestas,

1. Sí,$i$corre sobre dobletes así que$F$es un doblete, también. Tiene dos componentes y estamos sumando$F_i F^*_i$encima$i$cual es$SU(2)$-invariante.

2. Aquí no está claro por qué insistes en la daga en lugar del asterisco. Puede haber dos razones básicas. Primero, transposiciones y columnas contra filas. Puede discutir si$F_{H_u}$que es un doblete debe escribirse como una columna o una fila. Si desea un producto de matriz regular en$F^*\cdot F$, el primero debe ser una fila y el segundo debe ser una columna. Sin embargo,$F^*_i F_i$está escrito en términos de componentes, por lo que no necesitamos saber si los componentes del doblete deben escribirse en una fila o en una columna; es una convención pura que no afecta la fórmula. Por lo tanto, no es necesario indicar la transposición mediante notación adicional. Alternativamente, usted puede preferir$\dagger$porque en última instancia estamos haciendo mecánica cuántica y realmente nos referimos a la conjugación hermitiana de todos los operadores de campos, me refiero a cada componente del doblete por separado. Sí, la mecánica cuántica siempre requiere$\dagger$donde la teoría clásica tuvo un$*$pero es una convención usar la notación clásica con$*$para distinguir los campos individuales, es decir, la convención de la física clásica, incluso en la mecánica cuántica. Especialmente en el caso de SUSY, primero estamos construyendo una teoría clásica, usamos su notación y luego la cuantificamos. Sí, todos los operadores con asterisco son realmente conjugados hermitianos. Tenga en cuenta que$U$es un singlete que no cambia nada.

3. puedes comprobar$SU(2)$invariancia simplemente rastreando cuidadosamente qué componentes de los campos,$Q$,$H_u$así como$F$, transformarse como dobletes y cómo los invariantes bilineales se construyen a partir de dobletes. Cuando lo hagas bien, obedeciendo las reglas anteriores, verás que ambos$W$y$V$son$SU(2)$-invariante. Así que incluso tu término cuartico es manifiestamente$SU(2)$-invariante porque es de nuevo una construcción de la forma algebraica$T_i T^*_i$por un$SU(2)$doblete$T$.

Con respecto a su comentario de vértices no deseados, debe distinguir cuidadosamente los campos de componentes y los supercompañeros. Los términos supersimétricos en el lagrangiano solo producen algunas interacciones para los quarks y otras para los squarks, y diferentes interacciones para varias combinaciones. En particular, un superpotencial cúbico en$d=4$es renormalizable, por lo que puede estar seguro de que solo produce interacciones renormalizables cuando se reescribe en componentes. Entonces, con respecto a su término cuártico, solo generará un término cuártico en los escalares, squarks, cuya dimensión es "masa" por factor, por lo que las dimensiones restantes$m^4$sigue siendo perturbativamente renormalizable. No existen$fermion^4$términos que obtienes de esta manera. En cambio, incluso en el lenguaje componente, obtienes términos que reproducen$W$y no$|W|^2$, como los términos de Yukawa que combinan un squark con un quark y un higgsino, o un Higgs con dos quarks (por supuesto, así es como todavía se obtienen las masas de los quarks). Dichos términos cúbicos se obtienen porque también hay términos cuadráticos en el Lagrangiano supersimétrico.