Formalismo de Gupta-Bleuler

En el formalismo de Gupta-Bleuler tenemos un problema con dos estados (fotones escalares y fotones longitudinales), porque aquí ⟨ k → a | k → b ⟩ es negativo o cero. Sin embargo, pensé que sólo | ⟨ k → a | k → b ⟩ | 2 corresponde a probabilidades, una cantidad que de todos modos sería no negativa.

¿Qué estoy haciendo mal?

Tienes : | | k → ; ϵ m ⟩ | 2 = ⟨ k → ; ϵ m | k → ; ϵ m ⟩ = − η m m 1 2 | k → | d ( 0 → ) . Entonces, con una métrica η = ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , el estado | k → ; ϵ 0 ⟩ tiene una "norma" negativa.
Entonces, que la norma sea negativa es un problema matemático (que causa problemas al definir un espacio de Hilbert adecuado), no un problema físico de probabilidades negativas. ¿Es eso correcto?
Los dos están relacionados. Considere los estados | a ⟩ y | b ⟩ que no están normados (a 1 ). Supongamos que el estado | a ⟩ tiene una evolución unitaria en el tiempo. La probabilidad de encontrar el sistema más tarde en un estado | b ⟩ es : pag = | ⟨ a | b ⟩ | 2 ⟨ b | b ⟩ ⟨ a | a ⟩ . Ahora supongamos que | b ⟩ tiene una norma positiva, y | a ⟩ tiene una norma negativa, entonces vemos que pag < 0

Respuestas (1)

Debe pensar en términos de la norma de un estado, y lo que sucede aquí es que tiene estados de norma negativa que no desea, de lo contrario no puede construir un espacio de Hilbert.

Copiando la fórmula en Wikipedia,

⟨ k → a ; ϵ m | k → b ; ϵ v ⟩ = ( − η m v ) 1 2 | k → a | d ( k → a − k → b )
ves eso por m = v = 0 , tomando la firma métrica como ( + , − , − , − ) , usted encuentra estados de norma negativos. Dado que esto le impide construir un espacio de Hilbert, no tiene sentido hablar de probabilidad: es decir, si define una probabilidad como una norma, entonces obtiene una probabilidad negativa, pero esto es simplemente reformular el problema.

Dicho de otra manera, ⟨ k → a | k → a ⟩ sería a la vez negativo y la norma de un vector para algunos estados, impidiendo una interpretación probabilística, por eso se habla de probabilidad negativa. Tenga en cuenta que, de hecho, un espacio de Hilbert garantiza que las probabilidades estén bien definidas.

Creo que otro punto de vista útil sobre esta historia es que, una vez que implementas la restricción ϵ ⋅ k = 0 usted tiene 3 grados de libertad, y elimina el último diciendo que su espacio de Hilbert es el cociente de estados de norma positivos sobre estados de norma cero, y esto realmente debe considerarse como equivalencia de calibre, es decir, los grados de libertad de calibre son redundancias, es decir, estados no físicos.

¿Podría elaborar? De hecho, a menudo se afirma que los estados de norma negativa dan como resultado probabilidades negativas. ¿Por qué así, si como menciona el OP, las probabilidades son siempre proporcionales al valor absoluto de una norma?
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