¿Cómo es el estado |a0ai⟩|a0ai⟩|a_0 a_i\rangle físico?

Question

¿Cómo es el estado |a0ai⟩|a0ai⟩|a_0 a_i\rangle físico?

gertiano

para un estado $|\psi\rangle$ para ser físico requerimos que:

⟨ ψ | a_{0}^{†} a_{0} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | a_{i}^{†} a_{i} | ψ ⟩

$\langle\psi|a_0^\dagger a_0|\psi\rangle = \langle\psi|a_i^\dagger a_i|\psi\rangle$

Siempre se dice que el estado físico debe contener el mismo número de fotones longitudinales y temporales, así que intentemos $|\psi\rangle = a^\dagger_0 a^\dagger_i |0\rangle$ como un estado que ha de ser físico. (¿lo es? ¿Por qué no lo sería?)

El lado izquierdo se convierte en:

⟨ 0 | a_{0} a_{i} a_{0}^{†} a_{0} a_{0}^{†} a_{i}^{†} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a_{i} a_{i}^{†} a_{0} a_{0}^{†} a_{0} a_{0}^{†} | 0 ⟩

$\langle 0| a_0 a_i a^\dagger_0 a_0 a^\dagger_0 a^\dagger_i | 0\rangle = \langle 0|a_i a^\dagger_ia_0 a^\dagger_0 a_0 a^\dagger_0 | 0\rangle$

⟨ 0 | (1 + a_{i}^{†} a_{i}) (- 1 + a_{0}^{†} a_{0}) (- 1 + a_{0}^{†} a_{0}) | ⟩

$\langle 0|(1+a^\dagger_ia_i)(-1+a^\dagger_0a_0)(-1+a^\dagger_0a_0)|\rangle$

⟨ 0 | (1) (- 1 + a_{0}^{†} a_{0}) (- 1) | ⟩ = ⟨ 0 | (1) (- 1) (- 1) | ⟩ = 1

$\langle 0|(1)(-1+a^\dagger_0a_0)(-1)|\rangle = \langle 0|(1)(-1)(-1)|\rangle = 1$

El lado derecho se convierte en:

⟨ 0 | a_{0} a_{i} a_{i}^{†} a_{i} a_{0}^{†} a_{i}^{†} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a_{0} a_{0}^{†} a_{i} a_{i}^{†} a_{i} a_{i}^{†} | 0 ⟩

$\langle 0| a_0 a_i a^\dagger_i a_i a^\dagger_0 a^\dagger_i | 0\rangle = \langle 0|a_0 a^\dagger_0 a_i a^\dagger_i a_i a^\dagger_i | 0\rangle$

⟨ 0 | (- 1 + a_{0}^{†} a_{0}) (1 + a_{i}^{†} a_{i}) (1 + a_{i}^{†} a_{i}) | ⟩

$\langle 0|(-1+a^\dagger_0 a_0)(1+a^\dagger_ia_i)(1+a^\dagger_ia_i)|\rangle$

⟨ 0 | (- 1) (1 + a_{i}^{†} a_{i}) (1) | ⟩ = ⟨ 0 | (- 1) (1) (1) | ⟩ = - 1

$\langle 0|(-1)(1+a^\dagger_ia_i)(1)|\rangle = \langle 0|(-1)(1)(1)|\rangle = -1$

tal que $rhs \neq lhs$ y el estado parece no ser físico.

La pregunta Una de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera, pero no puedo descifrar cuál y por qué. Lo siento de antemano si esto es trivial (debería serlo) pero estoy realmente confundido en este momento:

el estado que probé es ciertamente no físico, pero ¿por qué sería eso? Contiene un número igual de fotones longitudinales y temporales, por lo que debería ser físico.
He cometido un error de signo o conceptual en mi cálculo que no logro detectar.

fénix87

Para cualquier vector

ψ

$\psi$ , la cantidad

(ψ, b^{*} b ψ)

$(\psi,b^*b\psi)$ es no negativo, ya que

= ‖ b ψ ‖^{2}

$= \Vert b\psi\Vert^2$ . Entonces me pregunto cómo el RHS puede ser negativo...

gertiano

a_{0}

$a_0$ es un aniquilador temporal tal que

[a_{0}, a_{0}^{†}] = - 1

$[a_0,a_0^\dagger]=-1$ eso es lo que causa los signos menos

fénix87

¿Cómo hace eso que una norma vectorial sea negativa?

gertiano

si tu vector es

a_{0}^{†} | 0 ⟩ = 0

$a^\dagger_0|0\rangle = 0$ con

| 0 ⟩

$|0\rangle$ definido como el estado para el cual

a | 0 ⟩ = 0

$a|0\rangle=0$ y

[a, a^{†}] = - 1

$[a,a^\dagger]=-1$ encuentra que la norma de ese vector es 0. Es bien conocido en la teoría cuántica de campos y el punto central de la restricción de Gupta Bleuler es que este estado de norma negativa no debería contribuir al resultado final. Mi pregunta es que no puedo entender por qué no, creo que debo haber cometido un error estúpido.

fénix87

La norma canónica en un espacio de Hilbert es obviamente no negativa y no degenerada, por lo que un vector con norma cero es el vector cero. ¿Lo estás mezclando con la (pseudo-)norma de Minkowski?

gertiano

sí, de hecho es una pseudo-norma, lo siento por no señalarlo. Sin embargo, esto todavía no explica por qué la condición de Gupta-Bleuler no se cumple:/

Profesor Legolasov

@ Phoenix87 es una característica de la cuantificación covariante. Comenzamos con un espacio de producto interno donde los estados no necesariamente tienen una norma positiva. Luego aplicamos las restricciones y demostramos que el espacio restante tiene una norma positiva y, por lo tanto, en teoría es habitable para una teoría mecánica cuántica.

fénix87

Nuevamente, tanto el lhs como el rhs en el OP no son negativos como está escrito

gertiano

¿Qué hay de malo que? No es realmente útil al afirmar que estoy equivocado sin señalar mi error ... Y como @SolenodonParadoxus señaló que mi cálculo es correcto, no lo estaba interpretando correctamente

Profesor Legolasov

@Phoenix87 Estoy diciendo eso

⟨ 0 | a_{0} a_{0}^{†} | 0 ⟩ = - 1

$\left< 0 \right| a_0 a_0^{\dagger} \left| 0 \right> = -1$ . ¿Insinúas que está mal?

fénix87

@ gertian Creo que es más útil señalar que hay un error en alguna parte para que puedas intentarlo de nuevo, en lugar de arreglarlo por ti. @SolenodonParadoxus Un operador de la forma

a a^{*}

$aa^*$ (o

a^{*} a

$a^*a$ ) es positivo. Por tanto ningún elemento diagonal puede ser negativo como he señalado en mi primer comentario. Esto es porque

(a ψ, a ψ) = (ψ, a^{*} a ψ) = ‖ a ψ ‖^{2} \geq 0

$(a\psi,a\psi)=(\psi,a^*a\psi)=\Vert a\psi\Vert^2\geq 0$ .

Profesor Legolasov

@ Phoenix87 eres ignorante e incorrecto. De nuevo, no puedes usar el

| | ψ | |^{2} > 0

$||\psi||^2 > 0$ axioma aquí. Estamos tratando con un espacio de producto interno para el cual no es cierto.

fénix87

Lo que sea compañero...

Profesor Legolasov

@Phoenix87 no fue mi intención ofenderte. Estás equivocado, eso es todo.

Respuestas (1)

¿Cómo es el estado |a0ai⟩|a0ai⟩|a_0 a_i\rangle físico?

Para cualquier vector $\psi$ , la cantidad $(\psi,b^*b\psi)$ es no negativo, ya que $= \Vert b\psi\Vert^2$ . Entonces me pregunto cómo el RHS puede ser negativo...
$a_0$ es un aniquilador temporal tal que $[a_0,a_0^\dagger]=-1$ eso es lo que causa los signos menos
si tu vector es $a^\dagger_0|0\rangle = 0$ con $|0\rangle$ definido como el estado para el cual $a|0\rangle=0$ y $[a,a^\dagger]=-1$ encuentra que la norma de ese vector es 0. Es bien conocido en la teoría cuántica de campos y el punto central de la restricción de Gupta Bleuler es que este estado de norma negativa no debería contribuir al resultado final. Mi pregunta es que no puedo entender por qué no, creo que debo haber cometido un error estúpido.
La norma canónica en un espacio de Hilbert es obviamente no negativa y no degenerada, por lo que un vector con norma cero es el vector cero. ¿Lo estás mezclando con la (pseudo-)norma de Minkowski?
sí, de hecho es una pseudo-norma, lo siento por no señalarlo. Sin embargo, esto todavía no explica por qué la condición de Gupta-Bleuler no se cumple:/
@ Phoenix87 es una característica de la cuantificación covariante. Comenzamos con un espacio de producto interno donde los estados no necesariamente tienen una norma positiva. Luego aplicamos las restricciones y demostramos que el espacio restante tiene una norma positiva y, por lo tanto, en teoría es habitable para una teoría mecánica cuántica.
Nuevamente, tanto el lhs como el rhs en el OP no son negativos como está escrito
¿Qué hay de malo que? No es realmente útil al afirmar que estoy equivocado sin señalar mi error ... Y como @SolenodonParadoxus señaló que mi cálculo es correcto, no lo estaba interpretando correctamente
@Phoenix87 Estoy diciendo eso $\left< 0 \right| a_0 a_0^{\dagger} \left| 0 \right> = -1$ . ¿Insinúas que está mal?
@ gertian Creo que es más útil señalar que hay un error en alguna parte para que puedas intentarlo de nuevo, en lugar de arreglarlo por ti. @SolenodonParadoxus Un operador de la forma $aa^*$ (o $a^*a$ ) es positivo. Por tanto ningún elemento diagonal puede ser negativo como he señalado en mi primer comentario. Esto es porque $(a\psi,a\psi)=(\psi,a^*a\psi)=\Vert a\psi\Vert^2\geq 0$ .
@ Phoenix87 eres ignorante e incorrecto. De nuevo, no puedes usar el $||\psi||^2 > 0$ axioma aquí. Estamos tratando con un espacio de producto interno para el cual no es cierto.
@Phoenix87 no fue mi intención ofenderte. Estás equivocado, eso es todo.

Profesor Legolasov · Answer 1

Estoy confundido por la primera declaración en su pregunta.

Normalmente, en el método de Gupta-Bleuler requerimos estados físicos para satisfacer

(a_{0} - a_{3}) | Ψ ⟩ = 0,

$(a_0 - a_3) \left| \Psi \right> = 0,$

que es una versión cuantizada de la restricción de calibre de Lorentz en el espacio de momento

{pag}_{m} A^{m} = 0,

$p_{\mu} A^{\mu} = 0,$

siempre que elijamos el $x^3$ eje a lo largo del impulso del fotón.

El espacio de soluciones de esta restricción se descompone en estados físicos generados por $a_{1,2}^{\dagger}$ y estados espurios generados por $a_0^{\dagger} - a_3^{\dagger}$ que se puede demostrar que tiene norma cero:

⟨ 0 | (a_{0} - a_{3}) (a_{0}^{†} - a_{3}^{†}) | 0 ⟩ = 0.

$\left< 0 \right| (a_0 - a_3) (a_0^{\dagger} - a_3^{\dagger}) \left| 0 \right> = 0.$

Estos pueden excluirse artificialmente del espacio del producto interno, después de lo cual obtenemos el espacio físico de Hilbert.

Los estados generados por $a_0^{\dagger} + a_3^{\dagger}$ no satisfacen la restricción y, por lo tanto, no son físicos.

Tenga en cuenta que su estado, que es $a_0^{\dagger}a_3^{\dagger} \left| 0 \right>$ no satisface la restricción:

(a_{0} - a_{3}) a_{0}^{†} a_{3}^{†} | 0 ⟩ \neq 0,

$(a_0 - a_3) a_0^{\dagger} a_3^{\dagger} \left| 0 \right> \neq 0,$

y por lo tanto no es físico. Esto se debe a que no podemos representar al operador. $a_0^{\dagger} a_3^{\dagger}$ únicamente en función de $a_1^{\dagger}$ , $a_2^{\dagger}$ y $a_0^{\dagger} - a_3^{\dagger}$ .

Gracias por tu respuesta, todo está claro ahora. Lo bueno es que lo que me confundió en primer lugar parece ser correcto, así que no tengo que tirar mi trabajo debido a mi confusión :)

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