Relatividad y Mecánica Cuántica

He estado pensando en el problema de las integrales de trayectoria relativistas y encontré varias dificultades. Supongamos que tenemos una partícula inicialmente en una posición X i en t i en un determinado marco de referencia. En otro marco de referencia inercial las posiciones son X i ′ en t i ′ . El método de la integral de trayectoria de Feynman nos permite calcular el problema condicional para observar la partícula en X F en t F dado que inicialmente estaba en la posición X i en t i :

PAG ( X F , t F | X i , t i )
En otro marco de referencia la probabilidad es
PAG ′ ( X F ′ , t F ′ | X i ′ , t i ′ )
El sentido común nos diría que
PAG ( X F , t F | X i , t i ) = PAG ′ ( X F ′ , t F ′ | X i ′ , t i ′ )
Ya que estamos observando el mismo evento. Sin embargo ahora viene el problema:
∫ − ∞ + ∞ d X F PAG ( X F , t F | X i , t i ) = 1
Lo que básicamente significa que las probabilidades tienen que sumar 1. En el marco de referencia diferente, lo mismo debe ser cierto, pero según la relatividad especial, la hipersuperficie de simultaneidad es diferente, pero aún así las probabilidades a lo largo de esa hipersuperficie tienen que sumar 1. Pero estas probabilidades en general no son las mismas que las probabilidades en un marco de referencia diferente. Si mi argumento es correcto, me parece que nos quedan tres opciones: 1. Las probabilidades son diferentes en cada marco de referencia. Esto es absurdo. 2. No todos los caminos están permitidos de modo que esta condición se cumpla. Esto también es absurdo. 3. No hay libre albedrío, lo que significa que un observador no puede elegir arbitrariamente su velocidad.

¿Es correcto mi argumento?

No veo dónde está la contradicción. ¿Por qué todavía no pueden sumar 1?
Tal vez debería haber mostrado un cálculo. Pero a priori esto no debería ser así.
Observe que la formulación QM de la integral de ruta no es necesariamente invariante relativista (porque QM no lo es). En la formulación general, tanto la medida integral de acción como la de trayectoria son invariantes bajo la transformación de Lorentz, por lo que la integral completa lo es, pero esto no es necesariamente cierto para los estados de partículas QM.
Además, en QM no está claro cómo los autoestados de posición | X ( t ) ⟩ transformar bajo transformaciones de Lorentz: la posición | X ⟩ es un elemento del espacio de Hilbert mientras que t es el parámetro del flujo hamiltoniano: se tratan de forma diferente.
@gented Sí, supongo que ambos comentarios tienen razón. Sin embargo, lo pensé con más detalle y creo que si la forma en que argumento es correcta, entonces ninguna teoría probabilística estándar sería compatible con la relatividad especial. Porque los argumentos que di no se limitan a QM.
@ user139383 "entonces ninguna teoría probabilística estándar sería compatible con la relatividad especial" , bueno, la integral de ruta en QFT es compatible con la relatividad especial, ya que tanto la función dentro de la integral como la medida son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz.
Escribí una derivación detallada del propagador de Klein-Gordon a partir del primer formalismo cuantizado (una integral de trayectoria para una partícula relativista con la acción de tiempo propia de la línea de mundo) hace algún tiempo, es posible que desee echar un vistazo: drive.google.com /file/d/1B6q4g_GEL4nFGtcwKWixyplYr8y2MH2E/…

Respuestas (1)

Creo que si impones que las probabilidades son iguales, en realidad puedes derivar el propagador escalar relativista. Por favor, perdónenme que no tengo tiempo para trabajar en los detalles aquí. Pero tiene que funcionar. Es decir, bajo un impulso,

| X , t ⟩ → ∫ d y ′ k ( X ′ − y ′ , t ′ ) | y ′ ⟩

dónde k es una especie de transformada de Fourier de mi ′ / mi . (Recordar que ∫ d 3 pag / mi ∼ ∫ d 4 pag d ( pag 2 − metro 2 ) es invariante de Lorentz.)

Imponer algún tipo de ley de composición

∫ d X 1 PAG ( X 2 , t 2 | X 1 , t 1 ) PAG ( X 1 , t 1 | X 0 , t 0 ) ∼ PAG ( X 2 , t 2 | X 1 , t 1 )

que creo que incluye la integral que escribiste en tu pregunta debería darte una condición de coherencia que debería permitirte resolver PAG ( X F , t F | X i , t i ) .

En resumen, está buscando representaciones escalares unitarias del grupo de Lorentz. Tiene que funcionar. Lo que ha demostrado en su pregunta es que esto no se puede hacer de manera arbitraria. El propagador está fijado únicamente por la Mecánica Cuántica y la Relatividad Especial.

PD No tienes que deducir de esto que no todos los caminos en la integral de camino están permitidos. Creo que debería ser suficiente que los caminos que violan la causalidad den una gran acción cuyas fases se cancelarán en el Camino Integral, dejando el camino causal como el dominante.

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