Soporte de Poisson en Relatividad General y peso tensorial

Question

Soporte de Poisson en Relatividad General y peso tensorial

Física
covarianza
cálculo tensorial
corchetes de poisson
relatividad general
geometría diferencial

vaquero cuántico

Estoy un poco confundido acerca del peso de la densidad tensorial de los corchetes de Poisson en la relatividad general y su covarianza. Quizás esté relacionado con no estar claro qué sucede cuando integro una densidad escalar de algún peso distinto de 1. Digamos que tengo el corchete de Poisson de la Relatividad General en el formalismo 3+1 ADM actuando sobre algún escalar local $f(x)$ en una rebanada de espacio-tiempo y alguna cantidad escalar $G$ . ( $G$ podría ser el hamiltoniano, y $f(x)$ podría ser un escalar, pero también podría ser una densidad escalar, p. $\sqrt{g}$ que cambia las cosas pero no la esencia de lo que estoy preguntando). El corchete de Poisson está dado por

\begin{aligned} {F (X), GRAMO} & = \int d^{3} y [\frac{d F (X)}{d {gramo}_{a b} (y)} \frac{d GRAMO}{d π^{a b} (y)} - \frac{d F (X)}{d π^{a b} (y)} \frac{d GRAMO}{d {gramo}_{a b} (y)}] \\ \overset{?}{=} \frac{d F (X)}{d {gramo}_{a b} (X)} \frac{d GRAMO}{d π^{a b} (X)} - \frac{d F (X)}{d π^{a b} (X)} \frac{d GRAMO}{d {gramo}_{a b} (X)} \end{aligned}

$\begin{align} \{f(x),G\}&=\int d^3y \Big[ \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(y)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(y)}\Big] \\ &\stackrel{?}{=} \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(x)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(x)} \end{align}$ con

g_{a b}

$g_{ab}$ el 3-métrico y usando la convención de tomar sus momentos conjugados

π^{a b}

$\pi^{ab}$ una densidad tensorial de peso uno (ya que la derivamos de la densidad lagrangiana). 2 preguntas: la primera es que el peso tensorial de la primera expresión parece ser -2 (más lo que venga con

f

$f$ , ya que tengo el

d^{3} y

$d^3y$ en la parte superior y el

δ π^{a b}

$\delta \pi^{ab}$ En el fondo. Dado que el lado izquierdo suele ser algo así como

\partial_{t} f (x)

$\partial_tf(x)$ , habría esperado que tuviera un peso tensorial de 1. Y esta expresión no parece que proporcione invariancia de difeomorfismo, aunque acepto que debe (supongo que uno debe considerar cómo se ubica la variedad 3 en la 4 -múltiple para esto).

Hay una discusión sobre las propiedades de invariancia del corchete de Poisson aquí: corchetes de Poisson en el espacio-tiempo curvo , pero no lo encuentro particularmente esclarecedor. ¿Alguien tiene una explicación sencilla?

Respuestas (1)

Soporte de Poisson en Relatividad General y peso tensorial

qmecanico · Answer 1

Esto no se limita a GR . De manera más general, dada una $(r,s)$ campo tensorial $\phi(x)$ , el campo de momento conjugado $\pi(x)$ es un $(s,r)$ campo de densidad tensorial . Vea también esta publicación Phys.SE relacionada $^1$ .
Dadas dos funcionales locales escalares de la forma
$\begin{matrix} (A) & F = \int d^{3} X ρ (X) F (X) y GRAMO = \int d^{3} X ρ (X) gramo (X), \end{matrix}$ $F =~ \int d^3x~\rho(x)~f(x)\qquad\text{and}\qquad G =~ \int d^3x~\rho(x)~g(x),\tag{A}$ dónde $\rho(x)$ es un campo de densidad, y $f(x),g(x)$ son campos escalares, entonces las derivadas funcionales $^2$ $\begin{matrix} (B) & \frac{d F}{d ϕ (X)} = \frac{\partial [ρ (X) F (X)]}{\partial ϕ (X)} - \frac{d}{d X^{i}} \frac{\partial [ρ (X) F (X)]}{\partial [\partial_{i} ϕ (X)]} + \dots \end{matrix}$ $\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{B}$ y $\begin{matrix} (C) & \frac{d GRAMO}{d π (X)} = \frac{\partial [ρ (X) gramo (X)]}{\partial π (X)} - \frac{d}{d X^{i}} \frac{\partial [ρ (X) gramo (X)]}{\partial [\partial_{i} π (X)]} + \dots \end{matrix}$ $\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial \pi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial [\partial_i\pi(x)]}+\ldots \tag{C}$ son un $(s,r)$ campo de densidad tensorial y un $(r,s)$ campo tensorial, respectivamente. Por lo tanto, el corchete canónico de Poisson $\begin{matrix} (D) & {F, GRAMO} = \int d^{3} X (\frac{d F}{d ϕ (X)} \frac{d GRAMO}{d π (X)} - \frac{d F}{d π (X)} \frac{d GRAMO}{d ϕ (X)}) \end{matrix}$ $\{ F,G\}~=~ \int d^3x~\left(\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta F}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\right)\tag{D}$ es de nuevo un funcional local escalar.
En particular, $^3$
$\begin{matrix} (MI) & \begin{aligned} {F (X), GRAMO} & = \int d^{3} y (\frac{d F (X)}{d ϕ (y)} \frac{d GRAMO}{d π (y)} - \frac{d F (X)}{d π (X)} \frac{d GRAMO}{d ϕ (y)}) \\ = \frac{d F (X)}{d ϕ (X)} \frac{d GRAMO}{d π (X)} - \frac{d F (X)}{d π (X)} \frac{d GRAMO}{d ϕ (X)} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \{ f(x),G\}&=~ \int d^3y~\left(\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(y)}\frac{\delta G}{\delta\pi(y)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(y)}\right)\cr &=~ \frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\end{align} \tag{E}$ en términos de derivadas funcionales del 'mismo espacio' $\begin{matrix} (F) & \frac{d F (X)}{d ϕ (X)} := \frac{\partial F (X)}{\partial ϕ (X)} - \frac{d}{d X^{i}} \frac{\partial F (X)}{\partial [\partial_{i} ϕ (X)]} + \dots, \end{matrix}$ $\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}~:=~ \frac{\partial f(x)}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial f(x)}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{F} ,$ cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

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$^1$ Si $\phi(x)$ es un campo de densidad tensorial, entonces el campo de momento conjugado $\pi(x)$ es un campo tensorial, es decir, entonces se invierten los papeles.

$^2$ los puntos suspensivos $\ldots$ denota términos posibles de derivados espaciales de orden superior.

$^3$ En esta respuesta usamos la convención de que la distribución delta de Dirac $\delta^3 (x,y)$ tiene valor de densidad

\begin{matrix} (GRAMO) & \int d^{3} y d^{3} (X, y) F (y) = F (X) . \end{matrix}

$\int d^3y~\delta^3 (x,y) f(y)~=~f(x). \tag{G}$ Además, usamos la convención de que

\begin{matrix} (H) & \frac{d ϕ (X)}{d ϕ (y)} = d^{3} (X, y) . \end{matrix}

$\frac{\delta\phi(x)}{\delta\phi(y)}~=~\delta^3(x,y) \tag{H} .$

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vaquero cuántico

Respuestas (1)

qmecanico

¿Inconsistencia con derivadas parciales como vectores base?

¿Las derivadas parciales contravariantes y covariantes conmutan en GR?

Usando −g−−−√−g\sqrt{-g} en integrales de volumen propio

¿Qué se quiere decir cuando se dice "el operador de derivada parcial ∂/∂xμ∂/∂xμ\partial/\partial x^\mu es un vector covariante"?

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