¿Es una tontería distinguir entre vectores covariantes y contravariantes?

Esta no es realmente una respuesta a su pregunta, esencialmente porque no hay ( actualmente ) una pregunta en su publicación, pero es demasiado larga para un comentario.

Su declaración de que

Una transformación de coordenadas es un mapa lineal de un vector a sí mismo con un cambio de base.

es confuso y, en última instancia, incorrecto. Tome un poco de espacio vectorial$V$y dos bases$\beta$y$\gamma$por$V$. Cada una de estas bases se puede utilizar para establecer un mapa de representación$r_\beta:\mathbb R^n\to V$, dada por

Ahora, para ir al corazón de su confusión, debe enfatizarse que los covectores no son miembros de$V$; como tal, los mapas de representación no se aplican a ellos directamente de ninguna manera. En cambio, pertenecen al espacio dual . $V^\ast$, con el que espero que estés familiarizado. (En general, le desaconsejaría encarecidamente leer textos que pretendan establecer la ley sobre la distinción entre vectores y covectores sin hablar extensamente sobre el espacio dual).

El espacio dual es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales de$V$en su campo escalar:

Para elevar el mapa de representación al espacio vectorial dual, se necesita la noción del adjunto de un mapa lineal . Da la casualidad de que, en general, no hay forma de levantar un mapa lineal$L:V\to W$a un mapa de$V^*$a$W^*$; en cambio, uno necesita invertir la flecha. Dado tal mapa, un funcional$f\in W^*$y un vector$v\in V$, solo hay una combinación que tiene sentido, que es$f(L(v))$. el mapeo

Si aplica esto a los mapas de representación en$V$, obtienes los adjuntos$r_\beta^*:V^*\to\mathbb R^{n,*}$, donde este último es canónicamente equivalente a$\mathbb R^n$porque tiene una base canónica. El inverso de este mapa,$(r_\beta^*)^{-1}$, es el mapa de representación$r_{\beta^*}:\mathbb R^n\cong\mathbb R^{n,*}\to V^*$. Este es el origen de la regla de la 'transposición inversa' para transformar covectores.

Para obtener la regla de transformación para covectores entre dos bases, debe unir dos de estos:

¿Sigues pensando que vectores y covectores son lo mismo?

Apéndice

Permítame, finalmente, abordar otro concepto erróneo en su pregunta:

Un producto interior es entre elementos de un mismo espacio vectorial y no entre dos espacios vectoriales, no es como se define.

De hecho, los productos internos se definen tomando ambas entradas del mismo espacio vectorial. Sin embargo, todavía es perfectamente posible definir una forma bilineal$\langle \cdot,\cdot\rangle:V^*\times V\to\mathbb R$que toma un covector y un vector para dar un escalar; es simple la acción del primero sobre el segundo:

Por supuesto, esto se relaciona con la estructura interna del producto.$\langle \cdot,\cdot\rangle_\text{I.P.}$en$V$cuando hay uno Tener tal estructura permite identificar vectores y covectores de forma canónica: dado un vector$v$en$V$, su covector correspondiente es el funcional lineal

Anexo 2, sobre su pregunta sobre el gradiente.

Realmente debería tratar de convencerte en este punto de que las leyes de transformación son, de hecho, suficientes para mostrar que algo es un covector. (La forma en que funciona el argumento es que uno puede definir un funcional lineal en$V$a través del formulario en$\mathbb R^{n*}$dada por los componentes, y las leyes de transformación aseguran que esta forma en$V^*$es independiente de la base; alternativamente, dados los componentes$f_\beta,f_\gamma\in\mathbb R^n$con respecto a dos bases, los mapas de representación dan las formas$r_{\beta^*}(f_\beta)=r_{\gamma^*}(f_\gamma)\in V^*$, y los dos son iguales debido a las leyes de transformación.)

Sin embargo, existe una razón más profunda para el hecho de que el gradiente sea un covector. Esencialmente, tiene que ver con el hecho de que la ecuación

Para hacer esto preciso, considere una función arbitraria$T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$. el derivado de$T$a$x_0$se define como el mapa lineal (único)$dT_{x_0}:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$tal que

Anexo 3.

Bien, ahora está bastante claro cuál es la pregunta principal (a menos que eso cambie nuevamente), aunque todavía no está particularmente claro en el texto de la pregunta. Lo que debe abordarse se indica en la respuesta del OP en este hilo:

el espacio vectorial dual es en sí mismo un espacio vectorial y el hecho de que deba descartarse como una matriz de filas se basa en cómo calculamos los mapas lineales y no en lo que realmente son los mapas lineales. Si hubiera definido la multiplicación de matrices de manera diferente, esto no habría sucedido.

También abordaré esta pregunta: dado que el espacio dual (/ cotangente) también es un espacio vectorial, lo que nos obliga a considerarlo lo suficientemente 'distinto' del primario como para mostrarlo como vectores de fila en lugar de columnas, y decir que sus leyes de transformación son diferentes?

La razón principal de esto está bien abordada por Christoph en su respuesta , pero la ampliaré. La noción de que algo es covariante o contravariante no está bien definida 'en el vacío'. Literalmente, los términos significan "varía con" y "varía en contra", y no tienen sentido a menos que uno diga con qué o contra qué varía el objeto en cuestión.

En el caso del álgebra lineal, se comienza con un espacio vectorial dado,$V$. La referencia tácita es siempre, por convención, la base de$V$: los objetos covariantes se transforman exactamente como la base, y los objetos contravariantes usan la transposición inversa de la matriz de coeficientes de transformación de la base.

Uno puede, por supuesto, cambiar las tornas y cambiar el enfoque de uno al dual,$W=V^*$, en cuyo caso el primario$V$ahora se convierte en el dual,$W^*=V^{**}\cong V$. En este caso, cantidades que antes se transformaban con la base primaria ahora se transforman contra la base dual, y viceversa. Es exactamente por eso que lo llamamos el dual: existe una dualidad completa entre los dos espacios.

Sin embargo, como es el caso en cualquier parte de las matemáticas donde se consideran dos espacios completamente duales ( ejemplo , ejemplo , ejemplo , ejemplo , ejemplo ), uno necesita romper esta simetría para llegar a alguna parte. Hay dos clases de objetos que se comportan de manera diferente y una transformación que los intercambia. Esto tiene dos ventajas distintas relacionadas:

• Todo lo que se prueba para un conjunto de objetos tiene un hecho dual que se prueba automáticamente.
• Por lo tanto, solo se necesita probar una versión del enunciado.

Al considerar las leyes de transformación de vectores, uno siempre tiene (o puede tener, o debería tener), en el fondo de la mente, el hecho de que uno puede reformular el lenguaje en términos de los objetos transformados por dualidad. Sin embargo, dado que la transformación no altera el contenido de las sentencias, normalmente no es útil realizar la transformación: uno necesita declarar alguna versión, y realmente no tiene ningún sentido declarar ambas. Por lo tanto, uno (arbitrariamente, -ish) rompe la simetría, rueda con esa versión y es consciente de que también es posible una versión dual de todo el desarrollo.

Sin embargo, esta versión dual no es lo mismo. De hecho, los covectores se pueden expresar como vectores de fila con respecto a alguna base de covectores, y los coeficientes de los vectores en$V$entonces variaría con la nueva base en lugar de en contra, pero luego, para cada implementación real, las matrices que usaría, por supuesto, se transformarían en dualidad. Habrías cambiado el idioma pero no el contenido.

Finalmente, es importante tener en cuenta que aunque los objetos duales sean equivalentes, no significa que sean iguales. ¡Es por eso que los llamamos duales, en lugar de simplemente decir que son iguales! Entonces, en lo que respecta a los espacios vectoriales, todavía hay que demostrar que$V$y$V^*$no solo están dualmente relacionados, sino que también son diferentes. Esto se hace preciso en la declaración de que no hay isomorfismo natural entre un espacio vectorial y su dual , que se expresa y se prueba en el lenguaje de la teoría de categorías . La noción de isomorfismo 'natural' es complicada, pero implicaría lo siguiente:

Para cada espacio vectorial$V$, tendrías un isomorfismo$\sigma_V:V\to V^*$. Querría que este isomorfismo jugara bien con la estructura de dualidad y, en particular, con los duales de las transformaciones lineales, es decir, sus adjuntos . Eso significa que para cualquier espacio vectorial$V,W\in\mathrm{Vect}$y cualquier transformación lineal$T:V\to W$, querrías el diagrama

para viajar Es decir, querrías$T^* \circ \sigma_W \circ T$A igual$T$.

Es probable que esto no sea posible de hacer consistentemente. La razón de esto es que si$V=W$y es$T$un isomorfismo, entonces$T$y$T^*$son diferentes, pero para un contraejemplo simple, puede tomar cualquier múltiplo real de la identidad como$T$. Esta es precisamente la declaración formal de la intuición en la gran respuesta de Garyp .

En lenguajes de manzanas y peras, lo que esto significa es que un espacio vectorial general$V$y su doble$V^*$no solo son duales (en el sentido de que existe una transformación que los cambia y los vuelve a colocar cuando se aplican dos veces), sino que también son diferentes (en el sentido de que no hay una forma consistente de identificarlos), por lo que la dualidad el lenguaje está justificado.

He estado divagando bastante, y espero que al menos algo de esto sea útil. Sin embargo, en resumen, lo que creo que debe recordar es el hecho de que

El hecho de que los objetos duales sean equivalentes no significa que sean iguales.

Esto también es, por cierto, una respuesta directa al título de la pregunta: no, no es una tontería. Son equivalentes, pero siguen siendo diferentes.

Esperamos que un vector cambie de cierta manera cuando cambiamos la escala que usamos para medir la distancia. Considere el vector

Para que la cantidad de energía físicamente importante tenga el mismo valor independientemente del marco en el que la evalúemos, debemos reconocer que hay dos tipos de vectores, y deben tratarse de manera diferente al cambiar de coordenadas.

Hay dos puntos más que se pueden hacer aquí. Lo siento si repito a alguien.

En cierto modo, tiene razón en que si tiene un espacio vectorial y su dual, no hay una forma intrínseca de decir qué espacio es el original y cuál es el dual. Esto se debe a que existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y el dual de su dual. En otras palabras si$V$es un espacio vectorial y$W=V^*$es dual entonces$W^*=(V^*)^*$es isomorfo a$V$(de forma canónica). De ahí la pareja$V$y$W$puede ser visto como un espacio vectorial$V$y su doble$W$o como un espacio vectorial$W$y su doble$V= W^*$.

En el contexto de una variedad, donde generalmente aparecen las palabras vectores contravariantes y covariantes, usted dice que necesita definir primero el espacio tangente en un punto y luego su dual, el espacio cotangente antes de que pueda hablar sobre formas, diferenciales, etc. . Pero este no es el caso. Es cierto que esa es la forma habitual en la mayoría de los libros, pero no la única forma posible. Si eres un algebraista en espíritu, es posible que hayas visto y prefieras la siguiente definición. Dejar$M$sea ​​una variedad diferenciable y$p\in M$un punto. Considere el anillo$\mathcal O_p$de gérmenes de funciones suaves en$p$. Es un anillo local, es decir, tiene un ideal máximo único.$\mathcal m_p$, que consiste en los gérmenes de funciones que se desvanecen en$p$.. Entonces el anillo$\mathcal O_p/\mathcal m_p$es evidentemente isomorfo al campo de los números reales. el cociente$\mathcal m_p/\mathcal m^2_p$es de forma natural un espacio vectorial sobre$\mathcal O_p/\mathcal m_p=\mathbb R$. Este es el espacio cotangente de la variedad en ese punto, generalmente denotado por$T^*_pM$. De esta manera puede definir los "covectores" sin definir primero los vectores. El espacio tangente es entonces el dual.

I) No, es importante distinguir entre tensores covariantes y contravariantes.

El enlace de OP menciona geometría diferencial . Si uno solo ha estudiado esos objetos en el contexto de variedades pseudo-Riemannianas $(M;g)$, que viene equipado con una métrica (invertible)$(0,2)$tensor$g$, entonces la existencia del isomorfismo musical quizás oscurezca innecesariamente las nociones precisas de tensores covariantes y contravariantes en algunos tratamientos.

Por lo tanto, se recomienda estudiar esto en un escenario desnudo de una variedad$M$ sin asumir estructuras adicionales, como un tensor métrico$g$.

II) De hecho, si uno está confundido acerca de los tensores covariantes y contravariantes, primero debe estudiar esto en el ámbito de mapas multilineales de espacios vectoriales de dimensión finita.$V$(a diferencia del contexto de geometría diferencial y variedades$M$).

La recomendación anterior se traduce (en el entorno multilineal) en el estudio de mapas multilineales de un espacio vectorial de dimensión finita$V$ sin asumir estructuras adicionales, como un producto interno (no degenerado)$\langle \cdot | \cdot \rangle :V\times V \to \mathbb{R}$.

Por supuesto, siempre hay infinitas maneras de poner un producto interno (no degenerado)$\langle \cdot | \cdot \rangle$en un espacio vectorial de dimensión finita$V$, cada uno de los cuales conduce a un isomorfismo musical:$V\cong V^*$. Pero el punto crucial es que no hay elección canónica de un producto interno (no degenerado)$\langle \cdot | \cdot \rangle$en$V$.

La noción de covarianza y contravarianza depende del contexto: si desea ser lo más claro posible, debería mencionar con respecto a lo que los componentes transforman de manera covariante o contravariante.

En el caso del dual algebraico de espacios vectoriales de dimensión finita, el contexto implícito es un cambio de base del espacio vectorial. Luego, podemos ver cómo se comportan los componentes de los vectores y los vectores duales con respecto a ese cambio.

En el caso de la geometría diferencial, el contexto implícito es el cambio de coordenadas de la variedad base, lo que induce un cambio de base del espacio tangente dado por la matriz de Jacobi. Con respecto a ese cambio de base, las componentes de los vectores tangentes se transforman contravariantemente y las componentes de los vectores cotangentes se transforman covariantemente.

Vale la pena mencionar en este punto que los vectores tangentes y cotangentes se pueden definir independientemente de sus leyes de transformación y sin hacer uso del emparejamiento de dualidad: Moralmente hablando (para que no confundamos el tema con tecnicismos), los vectores tangentes sobre una variedad$M$son clases de equivalencia de mapas$\mathbb R\to M$, mientras que los vectores cotangentes son clases de equivalencia de mapas$M\to\mathbb R$. Ambos forman espacios vectoriales por derecho propio, y cualquiera de ellos puede considerarse el dual algebraico del otro una vez que se introduce una noción de emparejamiento. Pero son objetos geométricos distintos, y una forma de hacer explícita esa distinción es observar cómo se comportan sus coordenadas.

Diré que la definición estándar de vectores y formas únicas no es la más limpia del mundo. Una definición moderna de vectores diría que un espacio vectorial es un mapeo de las funciones en el espacio a sí mismo que satisface la regla de Leibniz y es lineal (alternativamente, el espacio vectorial es la aproximación lineal local del espacio). Entonces, el conjunto de formas únicas es una aplicación lineal del espacio vectorial al espacio de funciones en el espacio tangente.

Hay vectores de un espacio vectorial (una entidad matemática abstracta). Entonces, para un espacio vectorial hay espacios duales correspondientes. Un elemento de un espacio dual asigna el elemento del espacio vectorial a$R$, este número se denota como$<a,b>$, el producto interior. Ahora bien, el espacio dual y el espacio vectorial tienen bases que están relacionadas por$<e^i,e_j>=\delta_{ij}$. Supongamos ahora que hay una transformación lineal de$Av=b$para el espacio vectorial, y A pertenece al espacio dual y b pertenece al$R$. Entonces, si decido elegir una nueva base para$v$, tengo que aplicar una transformación lineal a v que será una matriz cuadrada$B$. Ahora escribo la ecuación como$A$ $B^{-1}$ $B$ $v$=$b$. Esto ahora da la transformación lineal$A$en una nueva base, dada por la matriz$A$ $B^{-1}$que nuevamente será una matriz fila. Ahora, lo que sucedió es que cambiamos la base tanto del espacio vectorial como de su espacio dual de modo que la condición$<e^i,e_j>=\delta_{ij}$se mantiene y debido a la forma en que el vector dual se transformó en este caso, lo llamamos vector covariante. Pero esta denominación no es universal. Es un concepto relativo y puede variar de una situación a otra.

porque el espacio vectorial dual es en sí mismo un espacio vectorial y el hecho de que debe descartarse como una matriz de filas se basa en cómo calculamos los mapas lineales y no en lo que realmente son los mapas lineales. Si hubiera definido la multiplicación de matrices de manera diferente, esto no habría sucedido.

Ahora, la transformación de cambio de base que logramos para el espacio dual podría haberse logrado de la misma manera que el espacio vectorial en sí mismo si hubiéramos representado el vector dual como un vector columna y calculado por separado el cambio de base y, por lo tanto, el vector se habría transformado como$X$ $A^T$dónde$A^T$denota el vector dual como el vector columna.

Entonces, ahora el vector dual se transforma como el propio vector contravariante bajo la transformación de cambio de base.

Entonces, la misma transformación se puede lograr de la forma que desee, contravariante o covariante. Un vector es un vector.

La distinción co/contra solo tiene sentido cuando se habla de campos vectoriales. Incluso entonces, la diferencia solo se hace evidente cuando se trata de espacios curvos o, al menos, de sistemas de coordenadas curvilíneas. La diferencia proviene de cómo los vectores se relacionan con el espacio no subyacente o la variedad en la que se definen los campos. Los vectores contravariantes son entonces lo que la gente piensa dormidamente como vectores. Gran parte de la maquinaria formal se puede omitir si se toma como obvia la noción de un campo escalar en una variedad :). Entonces, un vector (contravariante) es algo que mide la tasa de cambio de un campo escalar a en un punto en una dirección dada. esto se formalizaal ver los vectores como operadores en campos escalares que satisfacen ciertas condiciones. Esta vista hace que los campos vectoriales contravariantes funcionen de campos escalares a campos escalares. Los vectores covariantes (o covectores) luego actúan sobre los vectores para medir su componente en una dirección dada. Esto hace que los campos covectoriales funcionen de campos vectoriales a campos escalares. Esto no es trivial, ya que no estamos asumiendo ninguna métrica, norma, producto escalar o nociones de ortogonalidad en los vectores o la variedad subyacente. Una vez que se introduce una métrica, obtenemos un isomorfismo natural entre vectores y covectores, luego se utilizan bases covariantes y contravariantes para representar el mismo objeto geométrico como vector o covector. Tenga en cuenta que los vectores contravariantes se representan en términos o bases covariantes y viceversa.

No podemos decir que distinguir entre vector covariante y vector covariante sea un poco estúpido.

Sin embargo, realmente no hay necesidad de restringir el vector físico para que sea covariante o covariante. De hecho, cualquier vector, como volecity, gradiente o cualquier otro tipo de vector, puede considerarse como covariante o contravariante en la transformación de coordenadas, aunque es posible que la velocidad se refiera al vector contravariante y el gradiente se refiera a vector covariante.

Por definiciones, las componentes de una transformada vectorial covariante obedecen a la ley:

y las componentes de un vector contravariante se transforman obedecen la ley:

No hay restricción para los tipos de vectores.$A_j$y$A^j$, y podemos realizar la transformación de coordenadas de acuerdo con las reglas.