Forma de función de las funciones invariantes de Lorentz

Esbozo una prueba para la función equivariante$f$que tiene valor vectorial y para vectores causales$p$, suponiendo sólo la continuidad de$f$en el último paso para extender el resultado de vectores de tiempo a vectores de luz.

Creo que la prueba se puede completar y el caso del tensor simétrico equivariante podría tratarse de manera similar.

Considerar$f(\Lambda p) = \Lambda f(p)$dónde$f$es un valor vectorial como dije. Definir

$$G^\mu(p) := f^\mu(p) - \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Evidentemente $$p_\mu G^\mu(p) = 0 \quad \forall p\:. \tag{1}$$ Por otra parte, por construcción $$G(\Lambda p) = \Lambda G(p)\tag{2}$$ Ahora supongamos que $k= (c,0,0,0)$con $c \neq 0$y deja $R \in O(3)$ser cualquier espacio $3$-rotación saliendo $k$fijado. debe ser $$RG(k) = G(Rk)= G(k)$$ como consecuencia el vector $G(k)$es paralelo a $k$(desde $O(3)$solo admite $0$como un punto fijo) de modo que, para algunos reales $a_k$, $$G(k) = a_k k\:.$$ Si $p$está en el cono de luz futuro o pasado, hay $\Lambda \in SO(1,3)$con $p= \Lambda k$para algunos $c$. De este modo $$G(p) = G(\Lambda k)= \Lambda G(k) = \Lambda a_k k = a_k p$$ y desde $p^2 \neq 0$, (1) implica $a_k=0$de modo que $G(p)=0$si $p$es un vector temporal. por fin tenemos eso $$f^\mu(p) = \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ podemos definir $$\alpha(p^2) := \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2}$$ ya que el lado derecho depende sólo de $p^2$en vista de $\Lambda f(p)= f(\Lambda p)$. Resumiendo, al menos para vectores temporales $p$e incluyendo los vectores similares a la luz asumiendo $f$continuo, $$f_\mu(p) =\alpha(p^2) p_\mu \:.$$

Los puntos cruciales son que (a)$O(3) \subset O(1,3)$, que (b)$O(3)$no tiene puntos fijos distintos de cero, y que (c)$O(1,3)$actúa transitivamente sobre un conjunto de vectores temporales con longitud fija.