Construcción de la teoría de Chern-Simon supersimétrica no abeliana N=2N=2\cal{N}=2

Esto está relacionado con esta pregunta anterior que había hecho.

Estoy usando la llamada representación "Majorana" de matrices gamma en$2+1$dimensiones en las que todo es real. Después de hacer la reducción dimensional del$\cal{N}=1$transformaciones de supersimetría de las componentes del supercampo vectorial en$3+1$dimensiona las transformaciones de supersimetría de la resultante$\cal{N}=2$componentes del supercampo vectorial en$2+1$las dimensiones son,

$$\delta F_A = i \bar{\alpha}^a\lambda_{Aa}$$ $$\delta D_A = i \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu D_\mu \lambda_{Aa}$$ $$\delta V_{A\mu} = i \bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}$$ $$\delta \lambda_{Aa} = -\frac{1}{2}f^3_{A\mu \nu}\gamma_3^{\mu \nu}\alpha_a + D_A\alpha^a + \gamma_3^\mu D_\mu F_A\alpha ^a$$

dónde$A,B,..$son los índices del grupo calibre,$f^3_{A\mu \nu}$es la intensidad de campo no abeliana y$\alpha$es un parámetro de espinor cuyas componentes suben y bajan como,$\alpha^1 = \alpha_2$y$\alpha^2 = -\alpha_1$.

Usando lo anterior, se pueden derivar las siguientes transformaciones para los posibles términos en la teoría de Super-Chern-Simons prevista,

$$\delta(Tr[FD]) = Tr[t_At_B] \{ i\bar{\alpha}^a \lambda _{Aa}D_B - i \bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu\lambda_{Ba}\partial_\mu F_A + i\bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu \lambda_{Ca} C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

$$\delta(Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]) = 2Tr[t_A t_B]\{ \frac{1}{2}\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Ba}f^3_{A\mu\nu}\epsilon ^{\mu \nu \rho} + \bar{\alpha}^a\lambda_{Ba}D_A - \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}\partial_\mu F_A$$

$$- \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C \}$$

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu \partial_\nu V_\rho)]) = -i\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}(\partial_\mu V_{B\nu} - \partial_\nu V_{B\mu})$$

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_D]C_{DBC}\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}V_{B\nu}V_{C\rho}$$

(dónde$t_A$son una base elegida en el álgebra de mentiras del grupo de calibre, de modo que las constantes de estructura se definen como,$[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$)

Es claro que eligiendo un coeficiente de$-2$Para el$Tr[FD]$y$i$Para el$Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]$algunos de los términos pueden cancelar la variación de los campos auxiliares y algunos de los términos restantes de la variación del término fermiónico cancelan totalmente la variación supersimétrica del término cinético de los campos de norma.

Lo que queda son,

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}V_\mu\partial _ \nu V_\rho + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD]) = Tr[t_At_B]\{i\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\mu}V_{D\nu}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$ $$- 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C - 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ca}C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

y

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\nu}V_{D\rho}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$

• No está claro que se pueda elegir un coeficiente para el último término para que la variación supersimétrica de la suma de los LHS sea cero.

Los términos anteriores parecen ser estructuralmente muy diferentes y, por lo tanto, no está claro cómo se cancelarán. Al igual que la variación del término autoacoplamiento fermiónico, se produce un acoplamiento del componente fermiónico, el campo de calibre y el campo auxiliar. ¡Tal término no es producido por la variación del término al cubo del campo de medida!

Uno espera que el lagrangiano sea algo así como,

$$Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu\partial _\nu V_\rho -i\frac{2}{3}V_\mu V_\nu V_\rho ) + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD ]$$

¡Me gustaría obtener ayuda para establecer lo anterior!

• Un progreso sería si los dos términos con la estructura constante realmente se cancelaran, es decir,

si

$$Tr[t_At_B]\{C_{AB'C}\lambda_{Ba} V_{B'\mu}F_C + C_{BB'C}\lambda_{Ca}V_{B'\mu}F_A\} = 0$$

¡Pero lo anterior no está claro!

NÓTESE BIEN. Mis constantes de estructura se definen como$[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$