Pregunta sobre el vector de estado del oscilador armónico cuántico

Sí, todo lo que has escrito es correcto, aunque, quizás, sea mejor aclarar el significado de algunas definiciones.

Las "funciones de onda" del Oscilador Armónico Cuántico no son más que las representaciones en la base de posición de los estados propios del Hamiltoniano asociado al oscilador armónico. Llamemos a este último como$H_{HO}$. Entonces, sus estados propios son$|\Psi_n\rangle$, con$H_{HO}|\Psi_n\rangle=E_n |\Psi_n\rangle$, dónde$E_n$es la energía de la$n$º nivel. A continuación, insertamos una resolución de la identidad para encontrar la representación de posición de$|\Psi_n\rangle$:

$$|\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x|\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\psi_n(x),$$ dónde$\psi_n(x)=\langle x|\Psi_n\rangle$son las funciones de onda y tienen la forma dada por su libro de texto. Tenga en cuenta que hemos recuperado la integral que ha escrito en la segunda fórmula.

Finalmente, el estado del sistema en un momento dado no necesita ser un estado propio de$H_{HO}$, pero puede ser cualquier estado de nuestro espacio de Hilbert. Esto es a lo que te refieres como "vector de estado"$|\Psi\rangle$. ¿Cómo podemos expresarlo? Bueno, podemos elegir la descomposición de base que prefiramos, por ejemplo:

$$|\Psi\rangle=\sum_n c_n |\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\psi(x),$$ dónde$c_n=\langle \Psi_n|\Psi\rangle$y$\psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$. Ambos son representaciones perfectamente equivalentes de la misma "realidad física" descrita por$|\Psi\rangle$, y puede elegir uno de ellos de acuerdo con el problema que desea abordar.