Calibre la simetría del campo vectorial masivo

Question

Calibre la simetría del campo vectorial masivo

indicador
Física
teoría de campo
teoría de calibre
electromagnetismo
teoría clásica del campo

AFG

Considere un campo vectorial masivo real con densidad lagrangiana

\begin{aligned} L & = - \frac{1}{4} (\partial_{m} A_{v} - \partial_{v} A_{m}) (\partial^{m} A^{v} - \partial^{v} A^{m}) + \frac{1}{2} {metro}^{2} A^{m} A_{m} \\ (1) & = - \frac{1}{2} (\partial_{m} A_{v} - \partial_{v} A_{m}) \partial^{m} A^{v} + \frac{1}{2} {metro}^{2} A^{m} A_{m} . \end{aligned}

$\begin{align}\mathcal{L}&=-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+\frac{1}{2}m^2 A^\mu A_\mu\\&=-\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}m^2 A^\mu A_\mu.\tag{1}\end{align}$

Bajo una transformación de calibre local $A_\mu\longrightarrow A_\mu+\partial_\mu f$ la densidad lagrangiana no es invariante

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} L ⟶ & L + \frac{1}{2} {metro}^{2} (2 A^{m} + \partial^{m} F) \partial_{m} F \\ = & L - \frac{1}{2} {metro}^{2} F (2 \partial_{m} A^{m} + ◻ F) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\mathcal{L}\longrightarrow&~\mathcal{L}+\frac{1}{2}m^2\left(2A^\mu+\partial^\mu f\right)\partial_\mu f\\=&\,\mathcal{L}-\frac{1}{2}m^2f\left(2\partial_\mu A^\mu+\square f\right)\end{align}\tag{2}$

a menos que tomemos un $f$ que satisface

\begin{matrix} (3) & ◻ F = - 2 \partial_{m} A^{m} . \end{matrix}

$\square f=-2\partial_\mu A^\mu\tag{3}.$

Las ecuaciones de movimiento para el campo vectorial son

\begin{matrix} (4) & (◻ + {metro}^{2}) A^{m} - \partial^{m} \partial_{v} A^{v} = 0, \end{matrix}

$(\square+m^2) A^\mu-\partial^\mu\partial_\nu A^\nu=0,\tag{4}$ y tomando su divergencia

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ obtenemos

\begin{matrix} (5) & \partial_{m} A^{m} = 0 . \end{matrix}

$\partial_\mu A^\mu=0\tag{5}.$

Esta identidad es el calibre de Lorenz, pero se satisface automáticamente. Entonces, desde $(3),$ $A_\mu\longrightarrow A_\mu+\partial_\mu f$ es una simetría de la teoría siempre que $\square f=0$ . ¿Se puede considerar esto como una especie de simetría de calibre "parcial" o "reducida"?

Editar: Me di cuenta de una cosa.

Con $(5)$ , el eom $(4)$ se convierte

\begin{matrix} (6) & (◻ + {metro}^{2}) A_{m} = 0, \end{matrix}

$(\square+m^2)A_\mu=0,\tag{6}$ pero esta ecuación no es invariante bajo la transformación

A_{μ} ⟶ A_{μ} + \partial_{μ} f

$A_\mu\longrightarrow A_\mu+\partial_\mu f$ incluso si

◻ f = 0

$\square f=0$ . ¿Por qué esta ecuación no es invariante pero la densidad lagrangiana sí lo es?

Respuestas (1)

Calibre la simetría del campo vectorial masivo

una mente curiosa · Answer 1

Las simetrías de la acción deben ser consideradas sin el uso de las ecuaciones de movimiento . Una simetría en el caparazón es una noción vacía: si usa las ecuaciones de movimiento, como lo hace cuando usa la ecuación. (5) para concluir que $\square f = 0$ debe ser una simetría, entonces cualquier transformación infinitesimal de la acción dejará la acción invariante, precisamente porque las ecuaciones de movimiento marcan un punto estacionario de la acción, y la definición de un punto estacionario es más o menos que todas las variaciones infinitesimales desaparecen. Consulte también esta respuesta y sus respuestas vinculadas por Qmechanic.
Precisamente porque las simetrías deben considerarse fuera de la cáscara, su eq. (3) es inconsistente. Como estamos fuera de la cáscara, $A^\mu$ es un campo arbitrario que no toma ningún valor específico, pero $f$ tiene que ser una función fija. Dado que la ec. (3) no se puede cumplir fuera de la cáscara para arbitraria $A^\mu$ , no hay invariancia de medida de la acción de un campo vectorial masivo .
Como se discutió en esta respuesta mía , la teoría hamiltoniana del campo vectorial masivo tiene dos restricciones:
$\begin{aligned} π^{0} & \approx 0 \\ \partial_{i} π^{i} + {metro}^{2} A_{0} & \approx 0 \end{aligned}$ $\begin{align} \pi^0 & \approx 0 \\ \partial_i \pi^i + m^2 A_0 & \approx 0 \end{align}$ El corchete de Poisson de estas restricciones no se desvanece, por lo que ambas son restricciones de segunda clase , pero solo las restricciones de primera clase pueden generar transformaciones de calibre, vea los puntos 4. y 5. en esta respuesta mía . Por lo tanto, la teoría del campo vectorial masivo está restringida , pero no es una teoría de calibre .

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Respuestas (1)

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