¿Mostrar que los calibres de Coulomb y Lorenz son transformaciones de calibre válidas?

Estoy trabajando en la Introducción a la electrodinámica de Griffith. Pulgada. 10, se introducen las transformaciones de calibre. El autor muestra que, dado cualquier potencial magnético A 0 y potenciales electricos V 0 , podemos crear un nuevo conjunto de potenciales magnéticos y eléctricos equivalentes dados por:

A = A 0 + ∇ λ V = V 0 − ∂ λ ∂ t .

Estas transformaciones se definen como una "transformación de calibre". Luego, el autor introduce dos de estas transformaciones, la medida de Coulomb y Lorenz, definidas respectivamente como:

∇ ⋅ A = 0 ∇ ⋅ A = − m 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t .

Aquí es donde estoy confundido. No entiendo cómo elegir la divergencia de A ser cualquiera de estos dos valores en realidad constituye una transformación de calibre, ya que cumple las condiciones de las dos ecuaciones superiores. ¿Cómo sabemos que tal λ incluso existe para establecer la divergencia de A a cualquiera de estos valores. ¿Alguien puede convencerme de que tal función existe para cualquiera de las transformaciones, o de alguna manera mostrarme que estas transformaciones son de hecho "transformaciones de calibre" como se definen anteriormente?

Respuestas (2)

Comentario a la pregunta (v1): parece que OP está fusionando, por un lado, una transformación de calibre

A ~ m   =   A m + d m Λ

con, por otro lado, una condición de fijación de calibre , es decir, elegir un calibre, como por ejemplo, calibre de Lorenz, calibre de Coulomb, calibre axial, calibre temporal, etc.

Una transformación de calibre puede ir, por ejemplo, entre dos condiciones de fijación de calibre. De manera más general, las transformaciones de calibre se ejecutan a lo largo de órbitas de calibre. Idealmente, una condición de fijación del indicador intersecta todas las órbitas de los indicadores exactamente una vez.

Matemáticamente, dependiendo de la topología del espacio-tiempo, a menudo es un problema no trivial si tal condición de fijación de calibre está globalmente bien definida y especifica de manera única el campo de calibre, cf. por ejemplo, el problema de Gribov . La existencia y la singularidad de las soluciones para las condiciones de fijación de calibres es el tema de varias publicaciones de Phys.SE, consulte, por ejemplo, esta y esta publicación de Phys.SE.

+1 por la excelente referencia a preguntas relacionadas y temas relacionados, como siempre

Los calibres de Coulomb y Lorenz son condiciones de fijación de calibre, no transformaciones de calibre. Tu pregunta aún tiene sentido, pero debería redactarse más así: ¿cómo puedes probar eso para arbitrariamente? A 0 y V 0 siempre existe una transformación de indicador a campos A y V que cumplen estas condiciones? De hecho, siempre existen muchas de estas transformaciones (estas condiciones no fijan completamente el calibre).

Para la condición de calibre de Coulomb, necesitamos 0 = ∇ ⋅ A = ∇ ⋅ ( A 0 + ∇ λ ) = ∇ ⋅ A 0 + ∇ 2 λ . Esta es la ecuación de Poisson , que se puede resolver para λ con funciones de Green. El caso de Lorenz es más fácil si usa cuatro vectores, en cuyo caso obtiene una versión de 3+1 dimensiones de la ecuación de Poisson.

En aras de la exhaustividad, ¿podría ampliar su respuesta para cubrir el indicador Lorenz de una manera más completa?
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