SUSY variación Wess-Zumino

Estoy siguiendo el libro de John Terning sobre supersimetría y, en particular, estoy tratando de verificar las variaciones susy del modelo Wess-Zumino dado por

$\mathcal{L}_s = \partial^\mu \phi^* \partial_\mu \psi \,, \quad \mathcal{L}_f=i \psi^\dagger \overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi$

Para calcular la variación de la parte fermiónica es necesario considerar:

$[\sigma^\mu \overline{\sigma}^\nu + \sigma^\nu \overline{\sigma}^\mu]_\alpha^\beta = 2\eta^{\mu \nu} \delta_\alpha^\beta \,, \quad [\overline{\sigma}^\mu {\sigma}^\nu + \overline{\sigma}^\nu {\sigma}^\mu]_{\dot{\alpha}}^{\dot{\beta}} = 2\eta^{\mu \nu} \delta_{\dot{\alpha}}^{\dot{\beta}} \, , \quad \delta \psi = -i(\sigma^\nu \epsilon^\dagger)_\alpha \partial_\nu \phi \,$

Siguiendo el libro uno solo necesita usar las propiedades mencionadas del$\sigma$'s, al hacerlo

$\delta \mathcal{L}_f = -\epsilon \sigma^\nu \partial_\nu \phi^* \overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi + \psi^\dagger \overline{\sigma}^\mu \sigma^\nu \epsilon^\dagger \partial_\mu \partial_\nu \phi \\ \delta \mathcal{L}_f= -2\epsilon \partial^\mu \phi^* \partial_\mu \psi + 2 \psi^\dagger \epsilon^\dagger \partial^\mu \partial_\mu \phi + \epsilon \sigma^\mu \overline{\sigma}^\nu \partial_\nu \phi^* \partial_\mu \psi-\psi^\dagger \overline{\sigma}^\nu \sigma^\mu \epsilon^\dagger \partial_\mu \partial_\nu \phi$

Mientras que la respuesta correcta viene dada por

$\delta \mathcal{L}_f = - \epsilon \partial^\mu \psi \partial_\mu \phi^* - \epsilon^\dagger \partial^\mu \psi^\dagger \partial_\mu \phi + \partial_\mu (\epsilon \sigma^\mu \overline{\sigma}^\nu \psi \partial_\nu \phi^* - \epsilon \psi \partial^\mu \phi^* + \epsilon^\dagger \psi^\dagger \partial^\mu \phi)$

eso cancela exactamente la parte bosónica de la acción. Realizar alguna integración por partes en mi cálculo da

$\delta \mathcal{L}_f = -2\epsilon \partial^\mu \phi^* \partial_\mu \psi - 2 \partial^\mu \psi^\dagger \epsilon^\dagger \partial_\mu \phi + \partial^\mu (2\psi^\dagger \epsilon^\dagger \partial_\mu \phi) + \epsilon \sigma^\mu \overline{\sigma}^\nu \partial_\nu \phi^* \partial_\mu \psi-\psi^\dagger \overline{\sigma}^\nu \sigma^\mu \epsilon^\dagger \partial_\mu \partial_\nu \phi$

Si bien los primeros 3 términos se asemejan a la respuesta correcta, hay problemas con el factor de 2 y si integro por partes los 2 términos restantes obtengo 2 derivadas totales más 2 términos que no parecen cancelarse entre sí. ¿Qué es lo que me falta para obtener el resultado correcto?