Pregunta definitiva sobre el producto tensorial

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Pregunta definitiva sobre el producto tensorial

módulos
Matemáticas
productos tensoriales
álgebra abstracta
álgebra conmutativa

eje d

Dejar $M,N$ ser módulos sobre un anillo $R$ , y considere el producto tensorial $M\otimes_RN$ . Por lo que entendí $M\otimes_RN$ es el cociente de los libres $R$ -módulo terminado $M\times N$ por la relación $\sim$ definido de la siguiente manera:

(metro + {metro}^{'}, norte) \sim (metro, norte) + ({metro}^{'}, norte);

$(m+m',n)\sim (m,n)+(m',n);$

(metro, norte + {norte}^{'}) \sim (metro, norte) + (metro, {norte}^{'});

$(m,n+n')\sim (m,n)+(m,n');$

(r metro, norte) \sim (metro, r norte) .

$(rm,n)\sim (m,rn).$ En particular

(m, n)

$(m,n)$ está en relación con otro par

(m^{'}, n^{'})

$(m',n')$ si y sólo si se verifica una de estas dos situaciones:

\exists r \in R : metro = r {metro}^{'}, {norte}^{'} = r norte;

$\exists r\in R:m=rm', n'=rn;$

\exists r \in R : norte = r {norte}^{'}, {metro}^{'} = r metro .

$\exists r\in R:n=rn', m'=rm.$ Ahora bien, suponiendo que se dé la primera situación, puede ocurrir que

m, n \neq 0

$m,n\neq 0$ y

r n = 0

$rn=0$ , de modo que

(m, n) \sim (m^{'}, 0)

$(m,n)\sim (m',0)$ ; también es fácil ver que

(m^{'}, 0) \sim (0, 0)

$(m',0)\sim(0,0)$ . Sin embargo, tengo problemas para entender por qué

(m, n) \sim (0, 0)

$(m,n)\sim (0,0)$ , Eso es todo

\sim

$\sim$ es transitiva, debe ser verdadera. de hecho desde

m \neq 0

$m\neq 0$ también

m^{'} \neq 0

$m'\neq 0$ , significa que

(m^{'}, n^{'})

$(m',n')$ no puede ser

(0, 0)

$(0,0)$ . Espero que sea solo un malentendido que pueda resolverse fácilmente, pero personalmente he pasado más de una hora con este problema y todavía no lo entiendo.

DR

Creo que, en general, cuando calculamos ciertas relaciones, esas relaciones generan muchas más "interacciones" que las que dan las relaciones al pie de la letra. Por ejemplo, dado un grupo libre en tres elementos

{a, b, c}

$\{a,b,c\}$ cociente por las relaciones

a^{- 1} b a = b^{2}, b^{- 1} c b = c^{2}, c^{- 1} a c = a^{2}

$a^{−1}ba = b^2, b^{−1}cb = c^2, c^{−1}ac = a^2$ , resulta que estas relaciones "conspiran" para forzar realmente las relaciones

a = b = c = e

$a=b=c=e$ (o en otras palabras, el grupo dado por la definición de generadores y relaciones

⟨ a, b, c ∣ a^{- 1} b a = b^{2}, b^{- 1} c b = c^{2}, c^{- 1} a c = a^{2} ⟩

$\langle a,b,c \mid a^{−1}ba = b^2, b^{−1}cb = c^2, c^{−1}ac = a^2 \rangle$ en realidad es trivial

= {e}

$= \{e\}$ ).

eje d

Ok, pero lo que estoy pensando es que en los elementos de

M \times N

$M\times N$ (que está contenido en el grupo libre sobre sí mismo obviamente) la única relación que queda es la tercera; y no entiendo cómo esto es una relación transitiva.

DR

Lo digo como está definido

\sim

$\sim$ no es una relación de equivalencia; la relación es en realidad la relación de equivalencia "más pequeña" generada por esas 3 reglas. En la teoría de los grupos libres, la analogía es que

⟨ X ∣ R ⟩

$\langle{X \mid R}\rangle$ Se define como

Free (X) / ⟨ ⟨ R ⟩ ⟩

$\text{Free}(X)/\langle\langle R \rangle\rangle$ , es decir, debemos cociente por el subgrupo normal generado por

R

$R$ para llegar a un grupo que satisfaga sólo las relaciones

R

$R$ .

Respuestas (1)

Pregunta definitiva sobre el producto tensorial

Creo que, en general, cuando calculamos ciertas relaciones, esas relaciones generan muchas más "interacciones" que las que dan las relaciones al pie de la letra. Por ejemplo, dado un grupo libre en tres elementos $\{a,b,c\}$ cociente por las relaciones $a^{−1}ba = b^2, b^{−1}cb = c^2, c^{−1}ac = a^2$ , resulta que estas relaciones "conspiran" para forzar realmente las relaciones $a=b=c=e$ (o en otras palabras, el grupo dado por la definición de generadores y relaciones $\langle a,b,c \mid a^{−1}ba = b^2, b^{−1}cb = c^2, c^{−1}ac = a^2 \rangle$ en realidad es trivial $= \{e\}$ ).
Ok, pero lo que estoy pensando es que en los elementos de $M\times N$ (que está contenido en el grupo libre sobre sí mismo obviamente) la única relación que queda es la tercera; y no entiendo cómo esto es una relación transitiva.
Lo digo como está definido $\sim$ no es una relación de equivalencia; la relación es en realidad la relación de equivalencia "más pequeña" generada por esas 3 reglas. En la teoría de los grupos libres, la analogía es que $\langle{X \mid R}\rangle$ Se define como $\text{Free}(X)/\langle\langle R \rangle\rangle$ , es decir, debemos cociente por el subgrupo normal generado por $R$ para llegar a un grupo que satisfaga sólo las relaciones $R$ .

eric wofsey · Answer 1

no es cierto que $M\otimes_R N$ es el cociente del módulo libre por la relación de equivalencia $\sim$ tú describes. En efecto, $\sim$ ni siquiera es una relación de equivalencia, no es típicamente transitiva o simétrica. En cambio, $M\otimes_R N$ se define como el cociente por el submódulo del módulo libre generado por todos los elementos de la forma

(metro + {metro}^{'}, norte) - (metro, norte) - ({metro}^{'}, norte),

$(m+m',n)-(m,n)-(m',n),$

(metro, norte + {norte}^{'}) - (metro, norte) - (metro, {norte}^{'}),

$(m,n+n')-(m,n)-(m,n'),$

(r metro, norte) - r (metro, norte),

$(rm,n)-r(m,n),$ o

(metro, r norte) - r (metro, norte) .

$(m,rn)-r(m,n).$ O intuitivamente, tomas un cociente por la relación

\sim

$\sim$ , pero usted hace todas las identificaciones adicionales que se le imponen para que el cociente aún tenga un valor natural.

R

$R$ -estructura del módulo (incluidas las identificaciones necesarias para obtener una relación de equivalencia real, pero también más, ya que esa relación de equivalencia además debe respetar la

R

$R$ -operaciones del módulo).

(También, el tercer caso en su definición de $\sim$ está mal: necesitas no solo identificar $(rm,n)$ con $(m,rn)$ , sino también identificarlos con $r(m,n)$ . Alternativamente, su tercer caso sería correcto si estuviera comenzando con el grupo abeliano libre en $M\times N$ en vez de gratis $R$ -módulo.)

Así que parece difícil determinar si un par $(m,n)$ (decir con $m,n\neq 0$ ), es o no cero en el producto tensorial. Mi ingenua intuición fue comprobar si entre todos los elementos del módulo libre del formulario $rr'(m',n')$ , dónde $rm'=m,r'n=n'$ , hay uno que es cero: es decir, o bien $rr'=0$ , $r\in\operatorname{Ann}N$ o $r'\in\operatorname{Ann}M$ . Sin embargo, como usted señaló, los elementos de esa forma no son todos los elementos en relación con $(m,n)$ en el módulo gratuito; lo que significa que tal vez no haya cero elementos de esa forma, pero $(m,n)$ todavía puede ser cero en el tensor.
No sé si aclaré mi problema, pero realmente no quiero una solución; Solo me gustaría saber si en realidad es un problema o solo estoy pensando demasiado en algo que podría simplificarse. De todos modos gracias por tu respuesta, fue muy clara.
No creo que haya un criterio simple para cuándo $(m,n)$ es cero en el producto tensorial.

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eric wofsey

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eric wofsey

Dado un diagrama conmutativo, demuestre que δδ\delta es isomorfismo

Núcleo del mapa inducido ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′\bar\phi:\Omega_{S/R}\to\Omega_{S'/R '}

Encuentre el núcleo del mapa inducido después de tensorizar

M≃ker(β)⊕Mker(β)M≃ker⁡(β)⊕Mker⁡(β)M\simeq\ker(\beta)\oplus\frac{M}{\ker(\beta)}

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