M≃ker(β)⊕Mker(β)M≃ker⁡(β)⊕Mker⁡(β)M\simeq\ker(\beta)\oplus\frac{M}{\ker(\beta)}

Como ya se comentó en los comentarios, su primera afirmación no es cierta. lo que necesitas es un mapa$\rho \colon M \to \text{ker}(\beta)$con$\rho|_{\text{ker}(\beta)} = 1_{\text{ker}(\beta)}$. Con esta suposición adicional, apenas hay diferencia entre la primera afirmación (con$\text{ker}(\beta)$) y la segunda reivindicación (con las secuencias exactas cortas).

Para la prueba, solo escribe el mapa obvio$M \to \text{ker}(\beta) \oplus M/\text{ker}(\beta)$(ahora hay uno, porque tienes$\rho$) y probar que es inyectiva y sobreyectiva.

Editar (por el bien de la integridad). El mapa obvio$\phi \colon M \to \text{ker}(\beta) \oplus M/\text{ker}(\beta)$es$\phi(m) = (\rho(m), \bar m)$.

Inyectividad: Supongamos$\phi(m) = 0$, es decir,$\rho(m) = 0$y$\bar m = 0$. Entonces$m \in \text{ker}(\beta)$y porqué$\rho|_{\text{ker}(\beta)} = 1_{\text{ker}(\beta)}$,$m = \rho(m) = 0$.

Sobreyectividad: Tomar$(l, \bar n) \in \text{ker}(\beta) \oplus M/\text{ker}(\beta)$. Ahora tenga en cuenta que$\phi(n) = (\rho(n), \bar n)$. Ahora podemos 'arreglar' el componente izquierdo agregando$l - \rho(n)$. Usando$l - \rho(n) \in \text{ker}(\beta)$, obtenemos$\phi(n + l - \rho(n)) = (l, \bar n)$.

Podría ser instructivo formular este argumento puramente en términos de secuencias exactas cortas.