¿Versión Fermion de la suma de Gauss-Milgram?

Para el orden topológico bosónico, se demostró que una fórmula muy útil es cierta:

$\sum_a d_a^2 \theta_a=\mathcal{D} \exp(\frac{c_-}{8}2\pi i)$

(para más detalles:$d_a$es la dimensión cuántica de cualquiera etiquetado por a, y$\theta_a$es el espín topológico. D es la dimensión cuántica total,$\mathcal{D}^2=\sum_a d_a^2$. Y$c_-$es la carga central quiral. Si asumimos una correspondencia de límites a granel,$c_-$Puede ser definido como$c_-=c_L-c_R$, la combinación quiral de la carga central del límite CFT. Alternativamente, la carga central quiral también está bien definida sin referirse a CFT, es decir, a través del efecto Hall térmico cuando tenemos una terminación de borde).

Entonces mi pregunta es sencilla: ¿cuál es la versión fermiónica de esta fórmula?