Pregunta de probabilidad (2 personas tirando dados: el primero en tirar 1 o 2 gana, pero dos 6 = empate)

Question

Pregunta de probabilidad (2 personas tirando dados: el primero en tirar 1 o 2 gana, pero dos 6 = empate)

ana efron

Supongamos que A y B están jugando un juego en el que se turnan para lanzar un dado estándar. Si sale un 1 o un 2, la persona que sacó ese número gana. Si sale un 3, 4 o 5, la otra persona tiene su turno. Si se lanzan dos 6 seguidos, el juego termina en empate. Si A tira primero, ¿cuál es la probabilidad de que A gane el juego?

Esto es lo que he hecho:

Si sacar un 6 significa que otro jugador obtiene una tirada (como 3,4,5), entonces el cálculo de este caso más simple es: $Pr(A\; gana,\; no\; empate) = \left ( \frac{1}{3} \right ) + \left ( \frac{2}{3} \right )^{2}\left ( \frac{1}{3} \right ) + \left ( \frac{2}{3} \right )^{4}\left ( \frac{1}{3} \right ) + ... = \left ( \frac{1}{3} \right )\left ( \frac{1}{1-\frac{2}{3}^{2}} \right ) = 0,6$

Denotando x como el evento de que salga un 1 o 2, y que salga un 3, 4 o 5; y z que se lanza 6 (donde dos 6 seguidos significan un empate): $P(empate) = P(zz)+P(yzz)+P(yyzz)+... = \frac{1}{36} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{36 }+ (\frac{1}{2})^{2}\cdot \frac{1}{36}+... = \frac{1}{36}\cdot \frac{1}{1-( \frac{1}{2})} = \frac{1}{18}$

Por lo tanto, (tal vez): $Pr(A\; gana) = \left [1- Pr(empate) \right ]\cdot Pr(A\; gana,\; no\; empate) = \left ( 1-\frac{1}{18} \right )\times 0.6 = \frac{17}{30}$ es la solución.

Si bien el resultado es intuitivo (para mí), me preocupa que lo anterior esté "sesgado" de alguna manera por el hecho de que A sale primero y no puede haber un empate en el primer lanzamiento. He intentado calcular P(A gana) directamente, por ejemplo, usando P(A Gana) = P(x)+P(yyx)+P(zyx)+P(yzx)+... pero era demasiado complicado para calcular la suma límite. Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas (1)

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lulú · Answer 1

Necesitamos introducir una variable de estado que nos diga si la tirada anterior fue o no $6$ . Para hacer eso, tengamos algunas variables:

$p_0$ denota la probabilidad de que el jugador cuyo turno sea finalmente gane, dado que la tirada anterior no fue una $6$ .

$p_1$ denota la probabilidad de que el jugador cuyo turno sea finalmente gane, dado que la tirada anterior fue una $6$ .

$t_0$ denota la probabilidad de que el juego termine en empate dado que la tirada anterior no fue un $6$ .

$t_1$ denota la probabilidad de que el juego termine en empate dado que la tirada anterior fue un $6$ .

Por lo tanto, la respuesta que buscas es $p_0$ . Observamos que tenemos cuatro variables, por lo que necesitaremos cuatro ecuaciones.

Para obtener la primera ecuación, considera el primer lanzamiento. Obtenemos

{pag}_{0} = \frac{2}{6} \times 1 + \frac{3}{6} \times (1 - {pag}_{0} - t_{0}) + \frac{1}{6} \times (1 - {pag}_{1} - t_{1})

$p_0=\frac 26\times 1+\frac 36\times (1-p_0-t_0)+\frac 16\times (1-p_1-t_1)$ Entonces

9 {pag}_{0} = 6 - 3 t_{0} - {pag}_{1} - t_{1}

$\boxed {9p_0=6-3t_0-p_1-t_1}$

También obtenemos

t_{0} = \frac{2}{6} \times 0 + \frac{3}{6} \times t_{0} + \frac{1}{6} \times t_{1}

$t_0=\frac 26\times 0+ \frac 36\times t_0+\frac 16\times t_1$ entonces

3 t_{0} = t_{1}

$\boxed {3t_0=t_1}$

Ahora considere una tirada dado que la tirada anterior era una $6$ . Vemos eso

{pag}_{1} = \frac{2}{6} \times 1 + \frac{3}{6} \times (1 - {pag}_{0} - t_{0}) + \frac{1}{6} \times 0

$p_1=\frac 26\times 1 +\frac 36\times (1-p_0-t_0)+\frac 16\times 0$ Entonces

6 {pag}_{1} = 5 - 3 {pag}_{0} - 3 t_{0}

$\boxed{6p_1=5-3p_0-3t_0}$ Y

t_{1} = \frac{2}{6} \times 0 + \frac{3}{6} \times t_{0} + \frac{1}{6} \times 1

$t_1=\frac 26\times 0 +\frac 36\times t_0+\frac 16\times 1$ Entonces

6 t_{1} = 3 t_{0} + 1 = t_{1} + 1 ⟹ t_{1} = \frac{1}{5} ⟹ t_{0} = \frac{1}{15}

$\boxed {6t_1=3t_0+1=t_1+1\implies t_1=\frac 15\implies t_0=\frac 1{15}}$

Ahora reescribimos las dos ecuaciones en $p_1,p_0$ Llegar

9 {pag}_{0} = 6 - \frac{2}{5} - {pag}_{1} ⟹ 45 {pag}_{0} = 28 - 5 {pag}_{1}

$9p_0=6-\frac 25-p_1\implies 45p_0=28-5p_1$

6 {pag}_{1} = 5 - 3 {pag}_{0} - \frac{1}{5} ⟹ 30 {pag}_{1} = 24 - 15 {pag}_{0}

$6p_1=5-3p_0-\frac 15\implies 30p_1=24-15p_0$ Desde el principio vemos que

5 {pag}_{1} = 28 - 45 {pag}_{0} ⟹ 30 {pag}_{1} = 168 - 270 {pag}_{0}

$5p_1=28-45p_0\implies 30p_1=168-270p_0$ De dónde

168 - 270 {pag}_{0} = 24 - 15 {pag}_{0}

$168-270p_0=24-15p_0$ Lo que implica

{pag}_{0} = \frac{144}{255} = \frac{48}{85}

$\boxed {p_0=\frac {144}{255}=\frac {48}{85}}$

Un pequeño esfuerzo adicional rinde

{pag}_{1} = \frac{44}{85}

$p_1=\boxed{\frac {44}{85}}$

Nota I: Estoy un poco sorprendido de que $p_1$ está tan cerca de $p_0$ , pero es difícil tener intuición aquí. No creo que el método sea conceptualmente defectuoso, pero, por supuesto, es posible un error aritmético. Verificaría el cálculo cuidadosamente.

Nota II: Solo para enfatizar, $p_1$ no es la probabilidad de que gane el segundo jugador. Lejos de ahi. De hecho, al comienzo del juego son posibles tres resultados: empate, el primer jugador gana, el segundo jugador gana. Llame a la probabilidad de que el segundo jugador gane $q_0$ . Vemos eso

{pag}_{0} + q_{0} + t_{0} = 1

$p_0+q_0+t_0=1$ de dónde (suponiendo que los cálculos anteriores fueran correctos)

1 = \frac{48}{85} + q_{0} + \frac{1}{15} ⟹ q_{0} = \frac{94}{255}

$1= \frac {48}{85}+q_0+\frac 1{15}\implies q_0=\frac {94}{255}$ Así, al principio, la probabilidad de que gane el primer jugador es

0.564705882

$0.564705882$ , la probabilidad de que gane el segundo jugador es

0.368627451

$0.368627451$ , y la probabilidad de empate es

0.066666667

$0.066666667$ . Una vez más, esto supone que no se cometió ningún error en el cálculo anterior.

¡Gracias! Un método inteligente para resolver este problema, ¡pero tomará algún tiempo revisarlo!
Como sugerencia: yo lo simularía. Debería ser lo suficientemente fácil como para ejecutar un millón de pruebas más o menos. Por supuesto, la solución de forma cerrada es mejor, si es correcta. Pero la simulación debería dar una buena idea del resultado numérico y eso podría ser útil. Sin duda, las simulaciones también pueden contener fallas.

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