Tengo problemas para comprender la energía total de una peonza simétrica giratoria pesada (giroscopio) en una superficie sin fricción. Estoy tratando de entenderlo a través del Lagrangiano del giroscopio. Mi entendimiento de mis notas de conferencias universitarias es que en una superficie normal con fricción, el Lagrangiano toma la forma de:
Y que sobre una superficie sin fricción toma la forma:
donde la diferencia ahora es que también se ha tenido en cuenta la energía cinética de traslación del COM.
Esto me está causando una gran confusión. Las principales preguntas con las que me gustaría ayudar a entender son:
Me han dicho que en el primer caso tomamos los momentos de inercia sobre el vértice del giroscopio (Punto de contacto con la superficie) y en el segundo caso sobre una superficie sin fricción los momentos de inercia se toman sobre el centro de masa Pero todavía no tengo claro cómo esto hace que el Lagrangiano sea lo que es en ambos casos.
Cualquier explicación que ayude a mi comprensión será muy apreciada.
Dado que la mecánica lagrangiana solo trata con fuerzas conservativas, la fricción aquí solo pretende transmitir una restricción en el sistema. Es decir, si el COM tiene movimiento de traslación a lo largo del plano en el que se asienta la parte superior.
En el caso de una superficie con fricción, la restricción es simplemente que y así sus derivados temporales se desvanecen. De manera similar, en el caso de una superficie sin fricción donde asumimos que el COM de la parte superior permanece inmóvil, las derivadas temporales de y se desvanece, en cuyo caso el lagrangiano se reduce al lagrangiano para un trompo sobre una superficie con fricción (nuestra suposición puede tomarse como una restricción si lo desea, pero en general deberíamos encontrar las ecuaciones de movimiento para y y use esta suposición como la condición inicial para resolver la trayectoria). Sin embargo, el movimiento a lo largo no está restringido y generalmente será distinto de cero. Esto nos lleva al siguiente punto.
El punto sobre el cual calculamos el momento de inercia importa aquí de la siguiente manera. En general, una parte superior sobre una superficie con fricción se precesionará y se nutre. En este caso, a pesar de que el vértice permanece en reposo, el COM se moverá y por lo tanto tendrá energía cinética. En el caso de una superficie sin fricción, calculamos el momento de inercia sobre el COM para que la energía cinética se divida en dos partes:
mientras que, en el caso de una superficie con fricción, calcular el momento de inercia sobre el vértice nos permitirá escribir la energía cinética en términos de rotación sobre el vértice (que captará la energía cinética debida a las rotaciones del COM).
En el caso sin fricción no hay fuerzas horizontales netas. El punto de contacto solo tiene la restricción de moverse por debajo de la superficie. La pareja experimentada por la peonza, si se inicia en posición inclinada, aplicará un par en el plano horizontal. El centro de masa también acelerará verticalmente bajo la gravedad, por lo que el primer término del segundo langrangiano será distinto de cero. La parte superior precederá alrededor del COM, no el punto de contacto.
C.Imagen
astromm