¿Cómo se aceleran estas canicas?

Esta pregunta se refiere a un efecto visible a partir de alrededor de 5m45s en este video 1 . (La pregunta tendrá poco sentido si uno no ha visto el clip primero).

La observación

Aproximadamente a los 5m45s vemos 5 canicas que comienzan a moverse, en fila india, en línea recta , inclinándose hacia abajo de derecha a izquierda, en un ángulo de aproximadamente 45º. Durante este recorrido diagonal, las canicas parecen estar casi flotando en el aire. Su movimiento no se parece al que cabría esperar de las canicas que caen por gravedad. (Por un lado, la trayectoria es rectilínea, no parabólica).

Esto es genial, pero es lo que sucede a continuación lo que realmente me desconcierta.

Una vez que cada canica llega a la pieza en forma de canal horizontal en la parte inferior de su recorrido diagonal, se dispara hacia la izquierda con una velocidad mucho mayor de lo que hubiera esperado. IOW, hay un aparente salto discontinuo en la energía cinética que me cuesta explicar.

la parte facil

Bien, primero, aquí está la explicación del extraño movimiento diagonal: las canicas se mueven entre dos placas transparentes rígidas. Estas placas están colocadas entre sí con una ligera desviación angular de una configuración paralela, de modo que en cualquier posición horizontal, no pueden caber por debajo de una determinada posición vertical: se queda atascado allí. El lugar geométrico de todos estos puntos donde la canica encaja justo entre las placas determina la trayectoria diagonal observada en el video.

La parte no tan fácil

Pero, ¿qué pasa con el movimiento posterior a lo largo del canal horizontal?

Dejar 1 2 metro v − 2 sean las energías cinéticas de, digamos, la primera canica justo antes de que toque el canal horizontal, y sea 1 2 metro v + 2 sea ​​su energía cinética poco después de que la canica comience a moverse a lo largo de este canal.

Si cuando vi esta secuencia por primera vez, el video se hubiera detenido justo antes de que la primera canica comenzara a moverse a lo largo del canal horizontal, habría esperado que eso 1 2 metro v + 2 ≈ 1 2 metro v − 2 , y por lo tanto v + ≈ v − . 2

Pero esta expectativa ingenua parece estar equivocada: seguro que me parece v + ≫ v − , y por lo tanto 1 2 metro v + 2 ≫ 1 2 metro v − 2 .

(Es posible que lo que estoy llamando un "canal horizontal" no sea así, y que su extremo izquierdo esté más bajo que el derecho, pero cualquier efecto debido a la gravedad que pudiera tener tal inclinación no sería aparente justo en el comienzo del movimiento de la canica a lo largo del canal. IOW, no pudo explicar el salto visible desde v − a v + . También es posible que las canicas se aceleren mediante algún truco oculto, pero esto iría muy en contra del estilo y el espíritu de estos videos educativos).

El único candidato para una explicación que se me ocurre es que durante el recorrido diagonal entre las placas transparentes, cada canica toma (de alguna manera) una gran cantidad de momento angular. IOW, se "acelera", por así decirlo. Una vez que toca el canal horizontal, la fricción entre los dos da como resultado la conversión de parte de este alto momento angular en un rápido giro hacia la izquierda de la canica.

Una objeción a esta hipótesis es que es más probable que una canica suave y liviana disipe la mayor parte de su momento angular a través de la fricción deslizante, girando en su lugar .

Pero dejando de lado esta objeción, ¿cómo exactamente la canica tomaría tanto momento angular durante la travesía diagonal?

Alternativamente, ¿hay alguna otra explicación para el salto aparente en la energía cinética?

1 El video es una colección de clips cortos del programa de televisión educativo infantil japonés Pitagora Suitchi (ピタゴラスイッチ o ピタゴラ装置), que significa literalmente "dispositivo(s) pitagórico(s)". (En los EE. UU., estos artilugios generalmente se denominan " máquinas de Rube Goldberg "). El fenómeno que motivó esta pregunta ocurre en el clip que comienza alrededor de los 5:35. FWIW, este clip se titula "5 canicas" (５つのビー玉), y data de 2003. Todos estos clips fueron producidos por el grupo de Satō Masahiko en la Universidad de Keiō .

2 Aquí, estoy usando v − y v + para representar "velocidades" escalares en lugar de "velocidades" vectoriales.

Me sorprende que incluso después de que uno pone tanto esfuerzo como yo al escribir esta pregunta, el primer voto que recibe es un voto negativo... Realmente no entiendo qué les pasa a ustedes.
Voté negativo porque vinculaste un video de más de 9 minutos y dijiste que la pregunta no tendría sentido sin verlo (probablemente tengas razón, dejé de leer después de algunas oraciones más). Sería mucho mejor si pudiera hacer esto independiente (es decir, sin necesidad de ver el video).
No leíste lo que escribí. Di el punto de tiempo exacto donde ocurre el fenómeno por el que estoy preguntando. Es trivial señalar el video hasta ese punto, y el fenómeno en cuestión toma solo unos segundos. Además, di detalles adicionales en una nota al pie. No te molestaste en leer y entender nada de esto, y simplemente decidiste rechazar a alguien. Así. Guau. Qué vergüenza.
No veo la dificultad aquí. Sí, parece extraño a primera vista, pero lo que sucede es que las bolas captan mucha energía cinética de rotación durante su descenso entre las placas de vidrio. Cuando finaliza el descenso y las bolas se dejan caer en la pista, toda esa energía cinética de rotación se convierte en energía cinética de traslación y las bolas se disparan.
@SamuelWeir: Esa es precisamente la explicación candidata que propongo en mi pregunta. Todavía no entiendo cómo ocurre esta acumulación de energía cinética rotacional. Eso es lo que estoy preguntando.
No te preocupes, kjo. Te voté porque es una pregunta interesante. Su enlace al video no es un problema para mí ya que, como dijo, especificó el índice de tiempo para mirar. Sin embargo, ayudaría mantener la pregunta más corta y más enfocada, ya que muchas personas no querrán leer una descripción larga como la anterior.
@kjo - Bueno, la acumulación de energía cinética rotacional ocurre porque las bolas pierden energía potencial gravitacional durante su descenso entre las placas de vidrio. Esa energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética rotacional a medida que descienden las bolas.
Si quieres intentar avergonzarme, siéntete libre. Incluso con una marca de tiempo, decirle a alguien que no tendrá sentido sin ver ninguna parte del video no proporciona ningún tipo de pregunta útil o buena en mis libros.
@kjo: las canicas adquieren un impulso de rotación debido al rodamiento sin deslizamiento. Sostienen que durante la caída y debido a la fricción, luego convierten esa energía rotacional nuevamente en energía cinética de traslación debido a la fricción. Nada que ver aquí, de verdad.
Creo que el material sobre el que ruedan las bolas cambia, mucha fricción = rotación. Cuando van entre las dos placas transparentes, ocurre el cambio de rotacional a lineal.
@Gert: "Nada que ver aquí, de verdad". ¿Está diciendo que si una pregunta está por debajo de su nivel elevado, no debe hacerse en physics.stackexchange.com?
@kjo: deberías calmarte mucho . Estaba formulando una respuesta y en tiempo real me dijeron que la pregunta estaba borrada: media hora de trabajo perdida por tu ira. Alguien votó en contra de su pregunta, quizás injustamente. Eso no es 'ustedes' , es una persona, no 'gente' . Tampoco dije nada acerca de que estuviera por debajo de mí . Necesitas crecer y renunciar a los intentos de leer la mente.
@Gert: eso es rico. ¿Le dices a alguien que "no hay nada que ver aquí", es decir, no vale la pena hacer su pregunta, y luego te quejas cuando esa persona borra la pregunta que tú mismo declaraste que no valía la pena hacer?
No estoy de acuerdo con este cierre. Ciertamente me parece un caso fuerte de "No puedo molestarme en hacer el esfuerzo de entender esta pregunta, por lo tanto, debe morir". Simplemente no hay nada de malo en mi apreciación, y FWIW no puedo ver ningún argumento sustancial en este hilo de comentarios que respalde el cierre. Si esto se cierra, no dude en enviarme un ping aquí y lo pondré de nuevo en la cola de revisión de reapertura.
@EmilioPisanty: gracias por las palabras de aliento.

Respuestas (1)

Ok, lo entiendo.

De lo que tenía que darme cuenta es que si las canicas hubieran rodado por un plano inclinado normal con la misma caída vertical, su velocidad a lo largo del canal horizontal sería comparable a la que se ve en el video. IOW, la energía cinética al final es consistente con la energía potencial al principio.

Lo que hizo que el movimiento que se ve en el video me resultara confuso es que, durante el recorrido diagonal, una fracción mucho mayor de la energía potencial inicial de la canica se convierte en energía cinética de rotación, en comparación con el caso más familiar de una canica rodando por una pendiente, en donde solo 2/7 de la energía potencial se convierte en energía cinética rotacional, el resto se convierte en energía cinética lineal. Esta es la razón por la cual, en el video, el movimiento lineal durante el recorrido diagonal parece tan anormalmente lento.

Para ser justos conmigo mismo, como dije en mi publicación original, planteé la hipótesis de que las canicas probablemente habían adquirido una velocidad angular sustancial cuando tocaron el canal horizontal.

Muchos de los comentarios en esencia reiteraron esto, que ya sabía.

De hecho, mi pregunta era por qué esta ganancia en velocidad angular.

El siguiente experimento mental fue lo que finalmente me aclaró la situación.

Imagina primero una esfera S de radio R , y un cilindro C de radio r < R y longitud L > 2 R . OIA, el cilindro C es más delgado y más largo que la esfera S .

Ahora imagina el sólido rígido S ′ obtenido por superposición C y S que sus centros de masa coincidan. OIA, S ′ es similar a una esfera de radio R , pero tiene un par de puntas cilíndricas que sobresalen en forma antípoda a lo largo de uno de sus ejes.

Finalmente imagine dos rieles rígidos paralelos, que están lo suficientemente separados como para que los pedazos cilíndricos de S ′ se puede descansar sobre ellos, y S ′ se puede hacer rodar a lo largo de los dos rieles mientras cuelga, tal como está, entre ellos.

Toda la configuración debería verse así:

gráficos matemáticos

Si los dos rieles están inclinados en algún ángulo, digamos 0 < θ < π / 4 , para que describan un plano inclinado, entonces S ′ rodará cuesta abajo sobre los rieles, ya que su energía potencial se convierte en energía cinética.

Suposición clave: todo rodar ocurre sin resbalar.

deja deja k mi yo ( t ) y k mi r ( t ) ser las energías cinéticas lineal y rotacional de S ′ mientras rueda por los rieles inclinados.

La fracción de la energía cinética total proveniente del movimiento lineal es aproximadamente 1

k mi yo ( t ) k mi yo ( t ) + k mi r ( t ) ≈ 1 2 metro ( r ω ( t ) ) 2 1 2 metro ( r ω ( t ) ) 2 + 1 5 metro ( R ω ( t ) ) 2 = 5 ( r R ) 2 5 ( r R ) 2 + 2 .

...dónde metro y ω ( t ) son la masa y la velocidad angular de S ′ , respectivamente.

De manera similar, la fracción de la energía cinética total proveniente del movimiento de rotación es aproximadamente

k mi r ( t ) k mi yo ( t ) + k mi r ( t ) ≈ 2 5 ( r R ) 2 + 2 .

IOW, para un fijo R , las contribuciones relativas de los movimientos lineal y de rotación a la cinética total se acercan rápidamente a 0% y 100%, respectivamente, como r → 0 .

El fenómeno que se muestra en el video puede considerarse como el caso límite donde r → 0 . Los puntos de contacto entre los mármoles y las placas transparentes juegan el papel de S ′ Son dos brocas cilíndricas que ruedan por los carriles inclinados.

Por cierto, debo decir que creo que este segmento de video es la demostración más bonita que recuerdo haber visto del principio de conservación de energía.

1 La expresión para k mi r arriba es en realidad la energía cinética de rotación de la esfera original S ; esta aproximación se vuelve mejor a medida que r / R se vuelve más pequeño

Esto realmente no es una gran respuesta a su pregunta, en el sentido SE del término , más un comentario largo. No explica, por ejemplo, cómo cuando las canicas ruedan sobre los rieles divergentes, la energía de traslación se convierte en energía de rotación. O cómo esa energía de rotación adquirida hace que las canicas vuelvan a acelerar en la siguiente etapa de su viaje.
¿Cómo se aceleran estas canicas?
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