Pozo de gravedad y energía total constante en órbita circular [cerrado]

Tienes tus fuerzas y potenciales mezclados. Si la fuerza está dada por:

$$F(r) = \frac{GMm}{r^n}$$

entonces el potencial es la integral de esto:

$$V(r) = -\frac{GMm}{(n-1)r^{n-1}}$$

En la pregunta que vinculas, la fuerza tiene una dependencia cúbica inversa,$n=3$, mientras que la fuerza gravitatoria tiene una dependencia del cuadrado inverso,$n=2$.

Obtenemos una órbita circular cuando la aceleración centrípeta es igual a la aceleración gravitacional, es decir

$$\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^n}$$

donación:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r^{n-1}}}$$

Entonces la energía cinética es:

$$T = \frac{GMm}{2r^{n-1}}$$

Para obtener la energía total sumamos la energía potencial:

$$E = \frac{GMm}{2r^{n-1}} - \frac{GMm}{(n-1)r^{n-1}}$$

Para la fuerza del cubo inverso descrita en la pregunta vinculada$n = 3$y obtenemos:

$$E = \frac{GMm}{2r^{3-1}} - \frac{GMm}{(3-1)r^{3-1}} = 0$$

por lo que tenemos el resultado ligeramente sorprendente de que la energía total es independiente de$r$y de hecho siempre es cero. por gravedad$n=2$y obtenemos:

$$E = \frac{GMm}{2r^{2-1}} - \frac{GMm}{(2-1)r^{2-1}} = -\frac{GMm}{2r}$$

por lo que la energía se vuelve más baja (más negativa) a medida que$r$disminuye Es por eso que las bolas en tu video se mueven hacia adentro a medida que pierden energía.

Este es un ejemplo del teorema virial que nos dice para un potencial$V(r) = ar^{-n}$Las energías cinética y potencial están unidas por:

$$2T = -nV$$

Para la fuerza cúbica el potencial tiene una dependencia del cuadrado inverso,$n = 2$, por lo que obtenemos:

$$T = -V$$

y podemos ver inmediatamente que la suma de la energía cinética y potencial es siempre cero. Para la gravedad el potencial depende de$r^{-1}$entonces el teorema del virial nos dice:

$$2T = -V$$

y la suma de las energías cinética y potencial es siempre$-T$.