Encontrar la energía almacenada en una capa esférica, pero la integral diverge

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Encontrar la energía almacenada en una capa esférica, pero la integral diverge

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Física
potencial
electrostática
energía potencial

patricio7

Estoy tratando de encontrar la energía almacenada al ensamblar una capa esférica (indicada por $S$ ) uniformados repartidos de carga total $q$ y radio $R$ . Para hacerlo, quiero usar la fórmula:

W = \frac{1}{2} ϵ_{0} \int_{S} σ V d a

$W = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{\text{S}}\sigma V da$

El problema viene cuando trato de calcular $V$ . Usando la ley de Gauss para encontrar $E$ y luego $V$ , es fácil ver que $V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R}$ en la superficie de la esfera. Sin embargo, cuando trato de calcular $V$ usando un método integral, la integral diverge. La fórmula para $V$ es

V = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{S} \frac{σ}{| \vec{r} - \vec{r}^{'} |} d a^{'}

$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{|\vec{r}-\vec{r}\hspace{1pt}'|} da'$

dónde $\vec{r}$ es la ubicación de $\rho$ y $\vec{r}\hspace{1pt}'$ es la posición de los otros cargos que afecta $\rho$ . Se puede ver que esta integral diverge, lo cual tiene sentido porque estamos asumiendo una distribución de carga continua, lo que significa $|\vec{r}-\vec{r}\hspace{1pt}'| \to 0$ .

no entiendo porque es esto? Usando estos métodos integrales, aún deberíamos llegar a la misma respuesta que el método de la ley de Gauss. ¿Podría alguien explicar por qué esto no funciona o una forma de solucionar este problema?

Respuestas (2)

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skachko · Answer 1

La integral no diverge. Aunque |r −r′|→0, $da'=\sin(\theta)d\theta d\phi$ enfoques $0$ también. Usando coordenadas esféricas con el punto en el que se está evaluando el potencial ubicado en el polo norte obtenemos:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{pecado (θ) d θ d ϕ}{\sqrt{2 - 2 porque (θ)}} = 4 π

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(\theta)d\theta d\phi}{\sqrt{2-2\cos(\theta)}}=4\pi$

¡Tienes razón! Mi error, no estoy del todo seguro de cómo lo arruiné. Me olvidé del signo de la raíz cuadrada cuando uso la ley de los cosenos en |rr'|. Pensé en borrar toda esta publicación, pero tal vez sea útil para otros que también se olvidan accidentalmente. Gracias por la respuesta.

Bishal Sarkar · Answer 2

Sabemos que el campo eléctrico dentro de una capa esférica con carga uniforme es cero, porque todas las cargas se encuentran en la superficie exterior. es decir,

{\vec{mi}}_{i norte} = 0

$\vec E_{in}=0$ y

{\vec{mi}}_{o tu t} = \frac{q}{4 π ϵ_{o} r^{2}} \hat{r}

$\vec E_{out}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_o r^2} \hat{r}$

$\textit{Electrostatic Energy stored in the spherical shell is :}$

tu = \frac{1}{2} ϵ_{o} ∭_{V} {mi}^{2} d τ

$U=\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V E^2 \, d\tau$

tu = \frac{1}{2} ϵ_{o} \underset{0}{\underset{⏟}{∭_{V} {mi}_{i norte}^{2} d τ}} + \frac{1}{2} ϵ_{o} ∭_{V} {mi}_{o tu t}^{2} d τ

$U=\frac{1}{2}\epsilon_o \underbrace{\iiint_V E_{in}^2 \, d\tau}_{0}+\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V E_{out}^2 \, d\tau$

tu = \frac{1}{2} ϵ_{o} ∭_{V} {mi}_{o tu t}^{2} d τ

$U=\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V E_{out}^2 \, d\tau$

= \frac{1}{2} ϵ_{o} ∭_{V} {(\frac{q}{4 π ϵ_{o} r^{2}})}^{2} 4 π r^{2} d r

$=\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V \left(\frac{Q}{4\pi \epsilon_o r^2 }\right)^2 \, 4\pi r^2 \, dr$

= \frac{1}{2} ϵ_{o} {(\frac{q}{4 π ϵ_{o}})}^{2} \times 4 π \int_{R}^{\infty} \frac{1}{r^{2}} d r

$=\frac{1}{2}\epsilon_o\left(\frac{Q}{4\pi \epsilon_o }\right)^2 \times 4\pi \int_R^{\infty} \frac{1}{r^2}\, dr$

tu = \frac{q^{2}}{8 π ϵ_{o} R}

$U=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_o R}$

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patricio7

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skachko

patricio7

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