Energía total de una órbita circular

Tomemos el caso general y supongamos que la fuerza es:

$$F = \frac{k}{r^n}$$

Luego integrando para obtener el potencial da:

$$U = -\frac{1}{n-1} \frac{k}{r^{n-1}}$$

Si la órbita es circular, la aceleración del objeto es$v^2/r$entonces la fuerza es$mv^2/r$, y equiparando esto con la ley de fuerza que nos dan, obtenemos:

$$\frac{k}{r^n} = \frac{mv^2}{r}$$

o con un reordenamiento rápido:

$$\frac{k}{2r^{n-1}} = \tfrac{1}{2}mv^2 = T$$

Entonces la energía total es:

$$\begin{align} E &= T + U \\ &= \frac{k}{2r^{n-1}} - \frac{1}{n-1} \frac{k}{r^{n-1}} \\ &= \frac{k}{r^{n-1}}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n-1}\right) \end{align}$$

Esto es sólo cero cuando$n = 3$. Por lo tanto, no es obvio para mí cómo se pueden usar declaraciones vagas de conservación de energía para hacer este argumento.

Considerando la energía total de una órbita de masa$m$bajo la influencia de una fuerza central atractiva,

$$\vec{F}=-F(r)\hat{r}$$ podemos demostrar que el momento angular, $\vec{L}$, se conserva porque el par producido por la fuerza con respecto al centro de fuerza es cero: $$\vec{\Gamma} = \vec{r}\times\vec{F} = rF(r)(\hat{r}\times\hat{r}) = 0.$$ Entonces podemos decir $|\vec{L}|=L = mr^2\dot{\theta}$es constante y la órbita será plana. Podemos describir la órbita en términos de las variables $r$y $\theta.$

La energía cinética está dada por

$$K=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)$$ que se puede reescribir usando $L$como $$K=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2)+\frac{L^2}{2mr^2}.$$ Usando la energía potencial de @JohnRennie (ver su respuesta) para el general $r^{-n}$fuerza central, podemos escribir que la energía es $$E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2)+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{K}{(n-1)r^{n-1}}.$$

Si tenemos una órbita circular,$\dot{r} = 0$.

Si n=2 (una fuerza gravitatoria newtoniana), la energía de una órbita circular se convierte en

$$E=\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{K}{r}.$$

Con$\frac{K}{r^2}$=$mr\dot{\theta}^2$=$\frac{L^2}{mr^3}$por una relación de fuerza centrípeta,$\frac{K}{r}=\frac{L^2}{mr^2}.$De esto obtenemos la energía total.

$$E=-\frac{L^2}{2mr^2},$$ un valor negativo.

Si examinamos más a fondo la parte de la energía en función de$r$, conocido como el ``potencial centrífugo'', hay un mínimo local de este potencial cuando

$$\frac{K}{r^n}=\frac{L^2}{mr^3}.$$ Para $n=2$, esto produce precisamente el radio de una órbita circular, y el equilibrio es estable.

Por otro lado, para n=3, la$r$desaparece la funcionalidad de este potencial mínimo. Esto significa que es posible que la órbita sea circular, pero la órbita no es estable.

El$E<0$condición para órbitas limitadas se refiere específicamente a un$n=2$fuerza central, y un mínimo E corresponde a la órbita circular. Para$n=3$, la energía será cero, es posible una órbita circular, pero no será un equilibrio estable.