Potenciales sin reflexión en mecánica cuántica

TL; DR : el potencial de pareja supersimétrico para el potencial de OP es el potencial constante, que claramente no tiene reflejos.

Definir por conveniencia posterior la constante$\kappa:=\hbar/\sqrt{2m}$. El potencial constante y el potencial de OP son solo los dos primeros casos ($\ell=0$y$\ell=1$) en una secuencia infinita de atractivos sin reflejos$^1$potenciales

$$\tag{1} V_{\ell}(x)~:=~-\frac{(\kappa a)^2 \ell(\ell+1)}{\cosh^2 ax}, \qquad \ell~\in~\mathbb{N}_{0}.$$

Consideremos a continuación una secuencia de dos potenciales de superpareja

$$\tag{2} V_{\pm,\ell}(x)~:=~ (\kappa a)^2\left( \ell^2 -\frac{\ell(\ell \mp 1)}{\cosh^2 ax}\right).$$

Tenga en cuenta que las propiedades de reflexión no se alteran al desplazar los potenciales hacia arriba o hacia abajo con una constante general. Eso es sólo una cuestión de convención. De ahora en adelante identificaremos dos potenciales si y solo si difieren en una constante general. Por ejemplo, los tres potenciales.

$$\tag{3} V_{+,\ell +1} ~\sim~ V_{-,\ell}~\sim~V_{\ell}$$

sólo difieren por las constantes generales.

Los dos potenciales de superpareja (2) satisfacen

$$\tag{4} V_{\pm,\ell} ~=~ W_{\ell}^2 \pm \kappa W_{\ell}^{\prime} ,$$

dónde

$$\tag{5} W_{\ell}(x)~:=~\ell \kappa a \tanh ax$$

es el superpotencial. Uno puede mostrar bajo supuestos bastante amplios$^2$que dos TISE supercompañeros$^3$

$$\tag{6} -\kappa^2 \psi^{\prime\prime} +V_{\pm,\ell}\psi~=~E \psi$$

compartir el espectro de estado ligado (excepto el estado fundamental para$V_{-,\ell}$), y (valor absoluto de) los coeficientes de reflexión y transmisión, cf. Árbitro. 1. Por lo tanto, hemos vinculado todos los potenciales considerados

$$\tag{7} 0~\sim~ V_{-,0}~\sim~ V_{+,1}~\stackrel{\text{SUSY}}{\longleftrightarrow}~ V_{-,1}~\sim~ V_{+,2}~\stackrel{\text{SUSY}}{\longleftrightarrow}~ V_{-,2}~\sim~ V_{+,3}~\stackrel{\text{SUSY}}{\longleftrightarrow}~\ldots$$

al potencial constante. Esto explica por qué la secuencia (1) consta de potenciales sin reflexión para un número entero no negativo$\ell\in\mathbb{N}_{0}$.

Finalmente, si$\ell \notin \mathbb{Z}$no es un número entero, el superpotencial (5) todavía tiene sentido. Sin embargo, el potencial (1) no se puede vincular mediante el uso de socios supersimétricos y cambios constantes al potencial trivial y, de hecho, el potencial (1) no es sin reflexión si$\ell \notin \mathbb{Z}$.

Referencias:

1. F. Cooper, A. Khare y U. Sukhatme, Supersimetría y mecánica cuántica, Phys. representante 251 (1995) 267 , arXiv:hep-th/9405029 ; Capitulo 2.

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$^1$Para completar, mencionemos que también hay una secuencia de potenciales repulsivos sin reflexión. Los análogos de las ecs. (1), (2) y (5) leer

$$\tag{1'} V_{\ell}(x)~:=~\frac{(\kappa a)^2 \ell(\ell+1)}{\sinh^2 ax}, \qquad \ell~\in~\mathbb{N}_{0},$$ $$\tag{2'} V_{\pm,\ell}(x)~:=~ (\kappa a)^2\left(\ell^2 +\frac{\ell(\ell \mp 1)}{\sinh^2 ax} \right),$$ $$\tag{5'} W_{\ell}(x)~:=~\ell \kappa a \coth ax ,$$ respectivamente. Para $a\to 0$, esto se convierte $$\tag{1''} V_{\ell}(x)~:=~\frac{\kappa^2 \ell(\ell+1)}{x^2}, \qquad \ell~\in~\mathbb{N}_{0},$$ $$\tag{2''} V_{\pm,\ell}(x)~:=~ \frac{\kappa^2\ell(\ell \mp 1)}{x^2} ,$$ $$\tag{5''} W_{\ell}(x)~:=~\frac{\ell \kappa}{x} ,$$ respectivamente. También, por simplicidad de notación, hemos suprimido la libertad de desplazar los perfiles potenciales a lo largo de la $x$-eje $x\to x-x_0$.

$^2$Para empezar, uno tiene que asumir que tanto los límites$\lim_{x\to\pm\infty} W(x)$existen y son finitos, que se mantienen en el caso de OP.

$^3$El TISE (6) se puede transformar en la ecuación diferencial de Legendre asociada , que describe armónicos esféricos y estados de momento angular en QM con número cuántico azimutal . $\ell\in\mathbb{N}_{0}$.

Daré una respuesta a esta vieja pregunta ya que acabo de ver esta pregunta a la que se hace referencia en Reddit, y dado que la respuesta muy completa de Qmechanic anterior realmente no respondió a la pregunta de OP.

Entiendo para algunas energías para E<0 que T=1. También entiendo los medios de dispersión resonantes en algunos valores de E cuando E> 0 que T = 1. No entiendo cómo "independientemente de su energía" las partículas pueden pasar la barrera con T = 1. Pregunta: ¿Cómo se puede explicar este fenómeno?

Esta es una pregunta válida, pero la respuesta es simplemente que la afirmación "independientemente de su energía" no es correcta. Por lo que entiendo de la respuesta de Qmechanic, este potencial en cuestión tiene algunos (número infinito) valores discretos de energías (correspondientes a estados límite) donde ocurre la transmisión resonante, tal como esperaba OP. (Lo mismo sucede en la barrera de potencial cuadrada habitual). Sería muy difícil imaginar un potencial no trivial, para el cual un continuo de estados mostraría una transmisión resonante. Con la transmisión resonante - estados cuasi ligados - correspondencia, tal potencial tendría que tener un continuo de estados cuasi ligados.