¿Superpotencial para pozo de potencial gaussiano? [cerrado]

entonces estoy buscando el súper potencial de un pozo gaussiano, a saber V = − mi − X 2 / 2 , y el súper potencial tiene que satisfacer la ecuación de Riccati, − W ′ ( X ) + W ( X ) = V ( X ) − a . De alguna manera no pude encontrar la ecuación para satisfacer esta relación, por lo que agradecería ayuda y sugerencias.

Suena como una oportunidad perfecta para desglosar un factor integrador .
@EmilioPisanty: efectivamente.
¿ Podría Matemáticas ser más adecuado para esta pregunta de matemáticas?
@KyleKanos: posiblemente, pero me gustaría saber qué se entiende por súper potencial .

Respuestas (1)

Reducámoslo a:

w ′ − w = q ( X ) ,

con q ( X ) = − V + a

Entonces:

w = ∫ tu ( X ) q ( X ) d X + C tu ( X ) ,

con tu ( X ) el factor integrante:

tu ( X ) = mi − ∫ d X = mi − X

Entonces:

w = mi X ∫ mi − X ( − V + a ) d X + C mi X

w = mi X ∫ ( mi − X mi − X 2 / 2 + a mi − X ) d X + C mi X

w = mi X ∫ mi − X mi − X 2 / 2 d X + a mi X ∫ mi − X d X + C mi X

w = mi X I − a + C mi X

I = ∫ mi − X mi − X 2 / 2 d X

Que es donde me quedé atascado.

(Fuente.)

Editar:

para la integral I , DSolve devuelve este resultado .

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