Potencial gravitatorio de una esfera frente a energía de enlace gravitacional de una esfera

Hay un error en una de sus fórmulas,$U=\frac{3 G M^2}{5 R}$con$R$igual al radio de la esfera es la energía requerida para hacer estallar cada pequeño trozo de la esfera para que sus piezas ya no interactúen gravitacionalmente, como dijiste, mientras$V$como se indica arriba con$r$igual a la distancia desde el centro de la esfera describe cómo la esfera interactúa con otros cuerpos (celestiales) , es decir, las partículas de prueba que se mueven en el campo gravitatorio de la esfera se sienten$V$.

Para elaborar: el campo gravitatorio alrededor de una masa puntual y alrededor de un objeto que es esféricamente simétrico es el mismo fuera del objeto debido a consideraciones de simetría, razón por la cual$V$concuerda con la formula del potencial gravitatorio entre 2 masas.

Para una pelota con densidad de masa uniforme/constante$\rho$, uno tiene

$$\tag{1} \frac{M}{R^3}~=~\frac{4\pi\rho}{3}~=~\frac{m}{r^3}.$$

El potencial gravitacional es

$$\tag{2} V(r)~=~-\frac{Gm}{r}.$$

La autoenergía potencial gravitatoria infinitesimal es

$$\tag{3} dU ~=~ V(r)dm~\stackrel{(2)}{=}~-\frac{Gm}{r} dm~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{GM^{\frac{1}{3}}}{R} m^{\frac{2}{3}}~dm.$$

Por lo tanto, la autoenergía potencial gravitatoria integrada es

$$\tag{4} U~=~\int \! dU ~\stackrel{(3)}{=}~ -\frac{GM^{\frac{1}{3}}}{R} \int_0^M m^{\frac{2}{3}}~dm~=~-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}.$$

no se que$U = \frac{3}{5}\frac{GM2}{r}$en su pregunta es, pero V parece ser solo energía potencial gravitacional, la fórmula habitual es$U=-\frac{GMm}{r}$que, en tu caso parece que$M=m$, y U simplemente se reemplaza por V y los términos de la derecha son positivos en lugar de negativos porque la definición está invertida (en lugar de la energía requerida para llevar algo de la esfera a una distancia infinita, inviértalo para traer algo de una distancia infinita a la esfera para cambiar el signo de '-' a '+' en el lado derecho de la ecuación$U=-\frac{GMm}{r}$)

Parece que su libro simplemente no está usando la convención de U = energía potencial gravitacional (en su lugar, eligió V).

Ver Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy#General_formula