¿Alguien podría explicar qué es un potencial?

Creo que la definición más general de un potencial es una cantidad que, cuando se diferencia de cierta manera, produce otra cantidad que nos interesa.

Otras respuestas ya han dado ejemplos de potenciales que, cuando se diferencian con respecto a la posición, producen una fuerza (es decir,$\vec F = -\nabla U$, donde el signo menos es simplemente convencional). Tales objetos se denominan energías potenciales y son especiales porque contribuyen a la energía total de un sistema.

Otros ejemplos de potenciales son los potenciales escalares y vectoriales.$\phi$y$\vec A$del electromagnetismo. En electrostática, definimos$\phi$tal que$\vec E =-\nabla \phi$, y en electrodinámica definimos$\vec B = \nabla \times \vec A$. Nuevamente, vemos que obtenemos cantidades físicas (en este caso$\vec E$y$\vec B$) diferenciando los potenciales ($\phi$y$\vec A$). Tenga en cuenta que estos potenciales no se corresponden automáticamente con las energías, ya que resulta$\phi$puede interpretarse como la energía potencial electrostática por unidad de carga (al menos en electrostática), pero no ocurre lo mismo con$\vec A$.

También podemos considerar los potenciales termodinámicos, que incluyen la energía interna$U$, el potencial de Helmholtz$F$, la entalpía$H$, y el potencial de Gibbs$G$. Cada uno de estos puede interpretarse como un tipo de energía bajo ciertas condiciones, pero nos referimos a ellos como potenciales porque cuando los diferenciamos con respecto a diferentes variables, obtenemos otras cantidades termodinámicas como presión, temperatura y volumen:

así sucesivamente y así sucesivamente.

Como ejemplo final que no tiene nada que ver con la energía, considere el potencial de velocidad $\Phi$que se utiliza cuando se trata de flujos de fluidos irrotacionales. La velocidad del flujo$\vec u$del fluido está dada por$\vec u = \nabla \Phi$; esto puede simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes y es análogo al uso del potencial escalar magnético en magnetostática.

Puede que se pregunte por qué alguna vez usamos potenciales en lugar de calcular las cantidades que nos interesan directamente; la respuesta es que muchas veces, las matemáticas funcionan de tal manera que los potenciales son sustancialmente más fáciles de calcular. Por ejemplo, las energías potenciales son escalares mientras que las fuerzas son vectores; el vector potencial$\vec A$obedece a una ecuación diferencial más simple que$\vec B$porque las ecuaciones de los diversos componentes se pueden desacoplar entre sí; los potenciales termodinámicos se pueden obtener a partir de la función de partición y varias transformaciones de Legendre sencillas.

La definición más general de energía potencial que existe es la siguiente: energía potencial es la energía asociada a una configuración particular de objetos . La energía potencial eléctrica está asociada con una configuración de cargas, la energía potencial gravitatoria está asociada con una configuración de masas y el potencial elástico está asociado con una cierta configuración masa-resorte.

Uno extrae energía potencial de una configuración cambiando las posiciones (u otros atributos relevantes) de los objetos en esa configuración. Por ejemplo, puede extraer energía potencial eléctrica de una configuración de cargas alejando las cargas que se repelen y juntando las cargas que atraen. Puede extraer energía potencial gravitatoria de una configuración de masas acercando las masas. De manera similar, puede extraer energía potencial elástica de una configuración masa-resorte moviendo la masa hacia su posición de equilibrio. Si desea agregar energía potencial a cualquiera de estas configuraciones, simplemente haga lo contrario de lo anterior.

Para responder a su pregunta final, cualquier función diferenciable puede, en principio, representar la energía potencial como una función de configuración. Si esa función describe un sistema físico que hemos observado es una historia diferente.

Un potencial en el sentido de "potencial gravitatorio" o "potencial eléctrico" es simplemente una versión escalada de la energía potencial. Es una función que describe la energía potencial de un sistema en función de la configuración, dividida por alguna cantidad relacionada con uno o más de los objetos (por ejemplo, el potencial gravitacional es la energía potencial gravitatoria dividida por la masa de uno de los objetos , y el potencial eléctrico es la energía potencial eléctrica dividida por la carga de uno de los objetos). Es simplemente una forma más conveniente de describir la energía potencial de un sistema cuando está obligado a variar (generalmente) solo uno de los parámetros de los objetos. Como tal, sigue siendo solo una forma escalada de la energía asociada con una configuración,

Un potencial escalar cuyo gradiente es la fuerza existe en muchas ramas de la física, por ejemplo, conducción de calor, magnetismo estático, electricidad estática, etc. En todos estos casos el gradiente (o gradiente negativo) del campo potencial es la fuerza que puede "mover "cosas de aquí para allá.

Por ejemplo, en el magnetismo estático descrito por la ley de Ampere (caso de estado estacionario)$\textrm{curl}\textbf{H}=\textbf{J}$en regiones donde la corriente es cero también tenemos$\textrm{curl}\textbf{H}=0$por lo tanto un escalar$\psi$tal que al menos en todos los dominios conectados individualmente también tenemos$\textbf{H}=\textrm{grad}\psi$. Tenga en cuenta la restricción al dominio conectado individualmente, no sería cierto para un dominio que contiene un imán toroidal, pero aún sería cierto localmente y cuando se calcula localmente, el campo de fuerza es un gradiente y esta fuerza puede mover cosas.

Otro ejemplo es la distribución de temperatura en estado estacionario calculada a partir de la ley de Fourier. Tenemos el flujo de calor (energía interna y entropía) como proporcional al gradiente espacial de temperatura. Lo que se mueve es el calor (energía interna + entropía) y la fuerza impulsora detrás de ese movimiento es la variación de temperatura entre puntos vecinos.

Energía potencial $U$puede considerarse como "almacenado".

• Levante un objeto y la energía potencial gravitacional se almacena (y se libera cuando cae).
• Coloque una carga eléctrica junto a otra carga y la energía potencial eléctrica se almacena (y se libera a medida que la carga se aleja/acerca debido a la repulsión/atracción).
• Comprima un resorte y la energía potencial elástica se almacena (y se libera a medida que rebota a su longitud original).
• Similar para las energías magnéticas, químicas y otras energías potenciales.

En todos los casos tenemos una "cosa" que quiere moverse. Ya sea una masa, una carga eléctrica, un resorte. Cuando algo se mueve, puede hacer un trabajo. Entonces, esta energía potencial "almacenada" tiene un potencial para hacer trabajo . Esa suele ser la definición clásica.

La energía potencial nos dice "con qué fuerza" algo quiere moverse. Pero tenga en cuenta que no es suficiente con una energía potencial alta; también necesita un punto con una energía potencial más baja . De lo contrario, la "cosa" no querría moverse de todos modos. Un libro no necesita moverse lateralmente en el estante ya que todos los puntos del estante dan la misma energía potencial, pero quiere caerse porque en el piso hay menos energía potencial. El sistema quiere liberar su energía potencial. Entonces, solo es importante una diferencia de energía potencial .

Esta descripción cuenta para todo tipo de energías potenciales.

¿ Qué es un potencial entonces? Lo mismo que la energía potencial, solo por cantidad. Es decir, por masa, por carga, etc. Un potencial eléctrico es energía potencial eléctrica por culombio , un potencial gravitatorio es *energía potencial gravitacional por kilogramo**, etc. (No tiene sentido decir energía potencial elástica por "cantidad" - ¿Cuál sería esa cantidad? ¿Elongación? Esto no se define fácilmente y nunca he visto que se use el término potencial elástico ).

Por último, la ecuación que mencionas es cierta. Fuerza$F$una energía potencial$U$Se define como:

Y de manera similar, la fuerza por cantidad sería igual al potencial diferencial . Esta fórmula simplemente dice matemáticamente lo que hemos descrito anteriormente: Que la "cosa" quiere moverse (siente una fuerza) hacia el punto de menor energía potencial. Si hay dos puntos con diferentes energías potenciales asociadas con ellos, entonces la "cosa" siente una fuerza hacia el punto de menor$U$.

Los campos de gradiente tienen la conveniente propiedad de invariancia de trayectoria. Cualquier integral de línea tomada dentro de ese campo desde el punto A hasta el punto B tendrá el mismo valor, sin importar cuán extraño sea el camino que pueda tomar.

Muy a menudo, nuestras leyes de la física se describen bien a través de la integración. Por ejemplo, en el caso de estudiar el movimiento planetario, queremos integrar la trayectoria de un objeto a través de un campo gravitatorio. Esto puede ser bastante matemáticamente exigente. Peor aún, es posible que no sepa exactamente el camino que uno toma a través del campo.

Si su campo resulta ser un campo de gradiente (como lo son los campos como los campos gravitatorios), entonces son camino invariante. La energía que gano o pierdo yendo del punto A al punto B no depende del camino que tomé, solo de los puntos finales. Esto significa que puedo sustituir una ruta mucho más fácil de calcular y llegar al resultado correcto.

Cuando tienes un sistema así, tienes un potencial. Si elige un punto de referencia (como un mínimo global o un máximo global), puede asignarle un valor de 0. En términos matemáticos, esto solo significa ajustar la "C" que sale de la integración para lograr el valor deseado. . Ahora puedes determinar el valor de cualquier otro punto en este espacio con respecto a este cero. Este es su "potencial". Esta es la cantidad de energía que podría ganar si se moviera de su posición actual a la referencia.

En muchos casos, las preguntas interesantes pueden responderse de esta manera. De hecho, tantas preguntas interesantes pueden responderse de esta manera que tendemos a enseñar los potenciales de energía primero, y solo completamos las matemáticas de la invariancia de la trayectoria y los gradientes más tarde.