Potencial eléctrico - Batygin, libro Toptygin

Encontré en los problemas de Batygin y Toptygin en electrodinámica un problema particular:

densidad de carga es

ρ = ρ 0 porque ⁡ α X porque ⁡ β y porque ⁡ γ z
en todo el espacio. encontrar potencial electrico ϕ .

¿Algún consejo por dónde empezar? La integración directa no es algo muy agradable de hacer a mano aquí. No puedo pensar en ninguna superficie de Gauss útil aquí tampoco.

Ok, he encontrado una forma de obtener el resultado correcto, pero requiere un poco de trampa. Primero veamos la ecuación de Poisson:

Δ ϕ = − 4 π ρ

Mi anzatz aquí es: potencial ϕ ( X , y , z ) tiene que ser un producto: ϕ ( X , y , z ) = ϕ X ( X ) ϕ y ( y ) ϕ z ( z ) y que estos potenciales ϕ i ( i ) = A i porque ⁡ ξ i X i ,

dónde A i son constantes, ξ i = { α , β , γ } y X i = X , y , z para i = { 1 , 2 , 3 } .

Lo conecté a la ecuación de Poisson y obtuve una respuesta:

ϕ ( X , y , z ) = 4 π ρ 0 α 2 + β 2 + γ 2 porque ⁡ α X porque ⁡ β y porque ⁡ γ z

Lamentablemente, la solución requiere una suposición afortunada y tengo mucha curiosidad si alguien conoce un enfoque más analítico.

Respuestas (1)

Puede resolver la ecuación de Poisson directamente para este caso usando una transformada de Fourier. Usando la convención

ψ ( k ) ≡ F [ ϕ ] = ∫ R 3 d 3 X   mi − i k . X ϕ ( X )
para la transformada de Fourier 3D, puede tomar la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación de Poisson para obtener:
F [ ∇ 2 ϕ ] = − 4 π F [ ρ ]
− | k | 2 ψ ( k ) = − 4 π F [ ρ ]
Lo que resulta en:
ψ ( k ) = 4 π | k | 2 F [ ρ ] ( ∗ )
ahora si calculamos F [ ρ ] , nosotros podemos obtener ψ ( k ) de ( ∗ ) , y en consecuencia encontrar ϕ ( X ) a través de una transformada inversa de Fourier. Calcular F [ ρ ] , tenga en cuenta que para cualquier función F : R 3 → R que se puede escribir como un producto de la forma F ( X ) ≡ F X ( X ) F y ( y ) F z ( z ) , la transformada de Fourier 3D es simplemente el producto de la transformada de Fourier 1D de cada F i (¿por qué?).
Usando esto, puede mostrar fácilmente (¡ejercicio!) que la transformada de Fourier de ρ ( X ) = ρ 0 porque ⁡ ( α X ) porque ⁡ ( β y ) porque ⁡ ( γ z ) es simple:
F [ ρ ] = π 3 ρ 0 ( d ( k X − α ) + d ( k X + α ) ) ( d ( k y − β ) + d ( k y + β ) ) ( d ( k z − γ ) + d ( k z + γ ) )
Enchufando esto en ( ∗ ) y tomando la transformada inversa de Fourier da:
ϕ ( X ) = 4 π 4 ρ 0 ∫ R 3 d 3 k ( 2 π ) 3   mi i k . X | k | 2 ( d ( k X − α ) + d ( k X + α ) ) ( d ( k y − β ) + d ( k y + β ) ) ( d ( k z − γ ) + d ( k z + γ ) )
Calculando esta integral usando las propiedades de la distribución delta , el resultado final es:
ϕ ( X ) = 4 π ρ 0 α 2 + β 2 + γ 2 porque ⁡ ( α X ) porque ⁡ ( β y ) porque ⁡ ( γ z )
como se deriva a través de su propio método. He dejado los cálculos finales para que los hagas tú mismo.

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