Calcule la distribución de carga dado el potencial Φ(x,y)=2(tan−1(1+xy)+tan−1(1−xy))Φ(x,y)=2(tan−1⁡(1+ xy)+tan−1⁡(1−xy))\Phi(x,y) = 2(\tan^{-1}(\frac{1+x}{y}) + \tan^{-1} (\frac{1-x}{y})) [cerrado]

El laplaciano no se reduce a cero. Tiene singularidades, que deberían alertarlo sobre cargas u otras fuentes del campo en los puntos singulares (en este caso, ramificación).

Recordar que:

$$\arctan\left(\frac{1+x}{y}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1+x}{y}\right)=-\mathrm{Im}\log\left(\frac{1+z}{i}\right)$$ $$\arctan\left(\frac{1+x}{y}\right)=\mathrm{Im}\log(i(1-z))$$

dónde$z=x+i\,y$. En 2D, el potencial de una carga lineal en el origen varía como$\log r$. Esto se parece mucho al potencial de dos líneas de carga en$z=\pm1$. Pero cuidado: tenemos un$\mathrm{Im}$al frente, por lo que está viendo el armónico conjugado del potencial para tal distribución. Así que busca la distribución cuyas líneas de campo son las mismas que las líneas equipotenciales de la distribución de carga que acabamos de mencionar, y cuyas líneas equipotenciales son las mismas que las líneas de campo de esta última.

Puede haber otras formas de hacer esto, pero desafortunadamente, tan pronto como veo$\arctan(y/x)$-como estructuras, veo las partes imaginarias de la función logarítmica, así que me fui por ese camino de pensamiento incluso antes de llegar a la sugerencia de tu profesor.

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Ok, dado que es el conjugado armónico, una forma de resolver esto sería encontrar el otro conjugado armónico con las ecuaciones de Cauchy-Riemann y usar eso con la ecuación de Poisson.

No, no del todo. Además, incluso si este fuera el enfoque correcto, tendría el mismo problema: el Laplaciano no es nada aparte de las singularidades. Ese método te daría$\mathrm{Re}(\log(z−1)−\log(z+1))$, que es el potencial debido a dos cargas lineales opuestas en ±1. Además, no usaría las ecuaciones CR incluso si este fuera el enfoque correcto: las tiene gratis en lo anterior: el armónico conjugado es simplemente$\mathrm{Re}(\log(x+i y−1)−\log(x+i y+1))$!

Tienes el armónico conjugado de esto. Creo que esta pregunta es muy engañosa: tienes un potencial con circulación, por lo que puedes interpretar tu potencial como el potencial escalar de un campo magnetostático que surge de dos corrientes de línea opuestas, o es un campo eléctrico con circulación. Este último puede surgir de dos campos magnéticos que varían en el tiempo (lo suficientemente lentos como para pensar que el campo magnético es estático) normales a la página y concentrados en dos cables magnéticos infinitamente delgados en$z=±1$. Mira cómo varía el potencial alrededor de decir$(x,y)=(1,0)$. Si observa un pequeño círculo cerrado alrededor de uno de estos caminos, el potencial muestra un comportamiento de ramificación .

Ya veo, ese es un argumento muy interesante con los campos magnéticos. Sin embargo, una cosa, ¿cómo concluiste que el potencial tiene circulación? Para resumir tu respuesta, y si entendí bien, ambas cargas puntuales están en el corte de rama de la parte imaginaria del potencial, deshaciéndonos así de las singularidades que surgen a causa de ello. De esa manera, ninguna distribución de carga producirá tal potencial.

No, los puntos de bifurcación son singularidades, punto final. Además, no tenía toda la razón al afirmar que las distribuciones de carga no pueden producir este campo; una extraña y singular lata, a saber, una línea de dipolos. Grafiquemos las cosas para ver el comportamiento de ramificación; aquí he ampliado la región alrededor del punto$(-1,0)$:

para que puedas ver claramente la rama cortada; el potencial a lo largo de un círculo alrededor del punto salta por$\Delta V=2\,\pi$a medida que pasa por el corte. Aquí tracé un gráfico de contorno para todo el campo; recuerda, las líneas son equipotenciales, no líneas de campo:

Entonces puede resolver este problema como un problema de valor límite para el semiplano superior, donde el potencial se especifica en el$x$eje como:

$$V(x) = \left\{\begin{array}{ll}+\pi&|x|<1\\0&\text{elsewhere}\end{array}\right.$$

y las condiciones de contorno de Dirichlet para el mismo problema para el semiplano inferior son:

$$V(x) = \left\{\begin{array}{ll}-\pi&|x|<1\\0&\text{elsewhere}\end{array}\right.$$

El potencial complejo para un dipolo solitario es$\Omega(z) = \frac{\mu}{z}\,e^{i\,\phi}$, dónde$\mu$es el momento dipolar y$\phi$define la orientación del dipolo. Tenga en cuenta que, en un campo 2D, estamos hablando de cargos de línea (con líneas normales a la página) en lugar de puntos. Puedes calcular esto a partir del campo eléctrico de dos líneas paralelas con una pequeña distancia entre ellas; luego tome el límite como la distancia$\to0$pero las cargas aumentan de modo que el momento dipolar permanece finito. Calcule el potencial para eso y comprenderá mi afirmación anterior. Ahora consideramos una línea de dipolos distribuidos, a lo largo de la$x$eje entre -1 y 1. Entonces debemos resumir todos sus potenciales como

$$\Omega(z) = \mu\,e^{i\,\phi}\, \int_{-1}^1\,\frac{du}{z-u}$$

Creo que deberías ser capaz de reproducir tu potencial ahora.