(Función generadora de Legendre) Potencial eléctrico fuera del eje de un disco aislado

Question

(Función generadora de Legendre) Potencial eléctrico fuera del eje de un disco aislado

Cactus BAMF

Un disco aislado, densidad de carga superficial uniforme $\sigma$ , de radio $R$ se pone en el $x,y$ avión. Deducir el potencial eléctrico. $V(z)$ a lo largo del eje z. A continuación, considere un punto fuera del eje $p'$ , con distancia $\rho$ desde el centro, formando un ángulo $\theta$ con el eje z. Ampliar el potencial en $p'$ en términos de polinomios de Legendre $P_l(\cos\theta)$ para $\rho < R$ y $\rho > R$

Para el punto en el eje z, esto es bastante fácil. El voltaje diferencial de un anillo diferencial de carga con radio $r$ es:

d V = \frac{1}{4 π ϵ_{o}} \frac{d q}{R}

$dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} \frac{dq}{ \mathscr{R}}$

d q = σ d A = σ 2 π r d r

$dq = \sigma dA = \sigma 2 \pi r dr$

R = \sqrt{r^{2} + z^{2}}

$\mathscr{R} = \sqrt{r^2 + z^2}$

Δ V (z) = \frac{σ}{2 ϵ_{o}} \int_{0}^{R} \frac{r d r}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}} = \frac{σ}{2 ϵ_{o}} (\sqrt{R^{2} + z^{2}} - | z |)

$\Delta V(z) = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o}\int_0^R \frac{ r dr}{\sqrt{r^2 + z^2}} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \left( \sqrt{R^2 + z^2} - |z| \right)$

Lo cual se obtiene usando una sustitución de U.

En cuanto a la segunda parte, lo único que cambia es la distancia desde el diferencial de carga y el punto de interés, así que tengo:

d V = \frac{σ}{2 ϵ_{o}} \frac{r d r}{R}

$dV = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \frac{r dr}{ \mathscr{R}}$

Pero ahora usando la ley de los cosenos, uso el ángulo entre $r$ y $\mathscr{R}$ , Nota: este no es el ángulo recomendado en el problema. De este modo $\mathscr{R} = (r^2 + p^2 - 2rp\cos \phi)^{1/2} = r(1 - 2 \frac{p}{r}cos \phi + \frac{p^2}{r^2})^{1/2},$ usando coordenadas polares esféricas, donde $p$ es la distancia desde el origen hasta el punto de interés, $p'$ .

Esta es la función generadora de los polinomios de Legendre,

∴ \frac{1}{R} = \frac{1}{r} GRAMO (\frac{pag}{r}, porque ϕ)

$\therefore \frac{1}{\mathscr{R}} = \frac1r G\left( \frac{p}{r}, \cos \phi\right)$

d V = \frac{σ}{2 ϵ_{o}} GRAMO (\frac{pag}{r}, porque ϕ) d r = \frac{σ}{2 ϵ_{o}} \sum_{yo = 0}^{\infty} {pag}_{yo} (porque ϕ) {(\frac{pag}{r})}^{yo} d r

$dV = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} G\left( \frac{p}{r}, \cos \phi\right) dr = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \sum_{l = 0} ^{\infty} p_l(\cos \phi) \left( \frac{p}{r} \right)^l dr$

Bien, entonces mi pregunta es esta, suponiendo que todo esto sea correcto (que creo que no lo es) ¿Cómo podría integrar esto? ¿Es tan simple como $\int_0^R \left( \frac{p}{r} \right)^l dr$ ? Esto crea un infinito. Cualquier ayuda me ahorraría mucho.

jose calahan

¿Conseguiste obtener la respuesta a esto? Estoy escribiendo una simulación que involucra discos cargados y esto sería muy útil.

david z

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Respuestas (1)

(Función generadora de Legendre) Potencial eléctrico fuera del eje de un disco aislado

¿Conseguiste obtener la respuesta a esto? Estoy escribiendo una simulación que involucra discos cargados y esto sería muy útil.
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Emilio Pisanty · Answer 1

Su fórmula para la función generadora es incorrecta en un sentido crucial. La fórmula que buscas dice

\frac{1}{| r - r^{'} |} = \sum_{yo = 0}^{\infty} \frac{r_{<}^{yo}}{r_{>}^{yo + 1}} {PAG}_{yo} (porque θ) .

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\sum_{l=0}^\infty \frac{r_<^l}{r_>^{l+1}}P_l(\cos\theta).$ Tenga en cuenta que el numerador y el denominador de cada término son potencias del menor y mayor , respectivamente, de

r

$r$ y

r^{'}

$r'$ . Para la expansión multipolar a la que se refiere su pregunta, necesita que el punto de evaluación esté más alejado del centro que el radio del disco.

R

$R$ , lo que significa que los poderes estarán en

r / p

$r/p$ en lugar de

p / r

$p/r$ . Eso resolverá los problemas de divergencia en las integrales.

Creo que la clave para ver rápidamente en qué dirección irá la expansión es verlo como una serie de Taylor (para fijos). $\theta$ ) en el pequeño paramento correspondiente.

(Función generadora de Legendre) Potencial eléctrico fuera del eje de un disco aislado

Cactus BAMF

jose calahan

david z

Respuestas (1)

Emilio Pisanty

Método de cargas de imagen (semiesfera sobre un metal)

Potencial eléctrico - Batygin, libro Toptygin

Calcule la distribución de carga dado el potencial Φ(x,y)=2(tan−1(1+xy)+tan−1(1−xy))Φ(x,y)=2(tan−1⁡(1+ xy)+tan−1⁡(1−xy))\Phi(x,y) = 2(\tan^{-1}(\frac{1+x}{y}) + \tan^{-1} (\frac{1-x}{y})) [cerrado]

Diferencia de potencial entre el punto sobre la superficie y el punto sobre el eje del cilindro cargado uniformemente

Cambio en la energía potencial eléctrica después de que la esfera se divide en dos

Encontrar la energía almacenada en una capa esférica, pero la integral diverge

¿La carga ligada está definida en el infinito?

Campo eléctrico de tetraedro uniformemente cargado

Potencial de distribución de carga arbitraria

Cubo conductor interior potencial