Potencial central vs potencial no central (partícula en una caja)

Dado que tengo experiencia en el modelado de vorticidad cuántica en un condensado, presentaré aquí algunos principios generales y daré ejemplos. Por lo general, usamos un sistema de coordenadas rotativas y allí investigamos el problema, por ejemplo, encontramos funciones propias. Entonces las condiciones de contorno pueden ser fijadas. Considere el problema de determinar las funciones propias y los valores propios de la ecuación de Schrödinger en un cubo giratorio con condiciones de contorno cero en la superficie del cubo. La ecuación de Schrödinger en un sistema de coordenadas giratorio tiene la forma (consulte https://arxiv.org/abs/1611.07570v1 y https://arxiv.org/abs/quant-ph/0305081 ):

$$i\hbar \partial _t \psi=\frac {1}{2m}(-i\hbar \nabla -m\vec {A})^2\psi -\frac {m}{2}(\vec {A})^2\psi$$ Aquí$\vec {A}=R\dot {R}^T\vec {r}$,$R$hay una matriz de rotación. En el caso de rotación con velocidad angular constante, tenemos$\vec {A}=\vec {\Omega}\times \vec{r}$. Entonces obtenemos $$i\hbar \partial _t \psi=-\frac {\hbar ^2}{2m}\nabla ^2\psi+i\hbar (\vec {\Omega}\times \vec{r}).\nabla \psi$$ Finalmente, eligiendo el eje z en la dirección del eje de rotación, encontramos $$i\hbar \partial _t \psi=-\frac {\hbar ^2}{2m}\nabla ^2\psi+i\hbar \Omega(x\partial _y-y\partial _x )\psi$$ Usamos esta ecuación para encontrar valores propios y funciones propias. Es necesario elegir la orientación del cubo en relación con el eje de rotación. Lo más sencillo es si el eje de giro coincide con el eje de simetría del cubo que pasa por caras opuestas. Poner$\hbar=1$y tamaño del cubo$L=2$entonces los primeros ocho valores propios tienen la forma (se muestra la magnitud de la función de onda, los valores propios se indican arriba)

El momento angular es una cantidad útil si se conserva. Si el momento angular no se conserva, entonces no ayuda mucho intentar identificar los estados propios del momento angular.

Todo se reduce a las simetrías del sistema, al estilo del Teorema de Noether . El momento angular está relacionado con la simetría rotacional. Una caja no es rotacionalmente simétrica. Por lo tanto, el momento angular no se conserva. Significa que el operador de rotación no conmutaría con el hamiltoniano y, por lo tanto, estos dos operadores no comparten los mismos estados propios.

En un sistema físico que no tiene simetría rotacional, los campos dentro del sistema intercambiarían momento angular con los límites. Por ejemplo, cuando la luz se refleja en un límite, hay un intercambio de cantidad de movimiento entre la luz y el límite. Si el momento que toma el límite no es paralelo al vector de posición, entonces su producto cruzado sería distinto de cero, lo que daría lugar a un momento angular distinto de cero adquirido por el límite. Por esa razón, el momento angular del campo dentro del límite no se conservaría.