QM cuasiclásico para campos centralmente simétricos

I) Pongamos por simplicidad las constantes físicas$\hbar=1=m$a uno. OP está considerando la transcripción habitual.$u(r)\equiv rR(r)$del TISE radial 3D en un TISE 1D,

$$- \frac{1}{2} u^{\prime\prime}(r)+U_{\ell}(r)u(r) ~=~E u(r),\tag{A}$$

donde la energía potencial total

$$U_{\ell}(r)~:=~ U(r) + \frac{C_{\ell}}{2r^2} \tag{49.8b}$$

es la suma de una energía potencial central$U(r)$y una energía potencial centrífuga$\frac{C_{\ell}}{2r^2}$. Aquí y debajo, los números de ecuación se refieren a la Ref. 1. La constante

$$C_{\ell}~:=~\ell (\ell +1)~=~\left(\ell+\frac{1}{2}\right)^2 -\frac{1}{4} \tag{B}$$

en la ec. (49.8b) es el valor propio de la$\hat{L}^2$operador.

II) Estamos investigando un estado ligado donde el momento angular$\ell>0$es distinto de cero.

Estamos interesados ​​en la situación en la que la energía potencial centrífuga domina numéricamente por completo [y el potencial$U(r)$puede ser ignorado] en un vecindario$[0,r_0+\epsilon[$del intervalo clásicamente prohibido$[0,r_0[$, dónde$r_0$denota el punto de inflexión radial interior. En otras palabras,

$$E~\approx~\frac{C_{\ell}}{2r_0^2}. \tag{C}$$

También queremos que la aproximación WKB semiclásica sea válida en el intervalo$[0,r_0[$(lejos del punto de inflexión). La condición semiclásica

$$|\lambda^{\prime}(r)|~\ll~ 1 \tag{46.6}$$

implica que

$$\ell ~\gg~ 1.\tag{D}$$

III) El (valor absoluto del) impulso es

$$\begin{align} p(r)~:=~&\sqrt{2\left|E - U_{\ell}(r)\right|}\cr ~\approx~&\sqrt{C_{\ell}\left|r^{ - 2} - r_0^{-2}\right|} \quad\text{for}\quad r\in[0,r_0+\epsilon[, \end{align} \tag{46.5}$$

dónde

$$\sqrt{C_{\ell}} ~\stackrel{(B)}{=}~\ell+\frac{1}{2}-\frac{1}{8\ell}+{\cal O}(\ell^{-2}). \tag{E}$$

Las fórmulas de conexión semiclásicas producen

$$u(r)~\approx~\frac{c}{\sqrt{p(r)}}\exp\left[ \int_{r}^{r_0} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime})\right] \quad\text{for}\quad r~<~ r_0, \tag{F}$$

$$\begin{align} u(r)~\approx~&\frac{c}{\sqrt{p(r)}}\cos\left[ \int_{r_0}^{r} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime})-\frac{\pi}{4}\right]\cr ~=~&\frac{c}{\sqrt{p(r)}}\sin\left[ \int_{r_0}^{r} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime})+\frac{\pi}{4}\right] \quad\text{for}\quad r~>~ r_0, \end{align} \tag{48.1}$$

dónde$c\in\mathbb{C}$.

IV) La aproximación semiclásica (F) se comporta como

$$u(r)~\propto~ r^{\sqrt{C_{\ell}}+\frac{1}{2}}\quad\text{for}\quad r~\to~ 0^{+}, \tag{G}$$

mientras que el conocido comportamiento exacto es

$$u(r)~\propto~ r^{\ell+1}\quad\text{for}\quad r~\to~ 0^{+}. \tag{32.15}$$

Por tanto, la aproximación semiclásica tendría el comportamiento correcto en el origen$r=0$si reemplazamos (E) por$\ell+\frac{1}{2}$.

V) Alternativamente, en el caso libre$U(r)=0$, la aproximación semiclásica (48.1) se comporta como$^1$

$$u(r)~\propto~\sin\left[\sqrt{C_{\ell}}\left(\frac{r}{r_0}-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4}\right] \quad\text{for}\quad r~\to~\infty, \tag{H}$$

mientras que el conocido comportamiento exacto es

$$u(r)~\propto~\sin\left[\sqrt{C_{\ell}}\frac{r}{r_0}-\ell\frac{\pi}{2}\right] \quad\text{for}\quad r~\to~\infty. \tag{33.12}$$

Esto nuevamente sugiere reemplazar (E) con$\ell+\frac{1}{2}$.

Referencias:

1. LD Landau y EM Lifshitz, QM, vol. 3, 3ª ed., 1981;$\S49$.

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$^1$La integral del momento se convierte en

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{C_{\ell}}} \int_{r_0}^{r} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime}) ~=~&\int_1^{\frac{r}{r_0}} \! \frac{dx}{x}\sqrt{x^2-1}\cr ~=~&\left[ \sqrt{x^2-1}+\arctan\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right]_{x=1}^{x=\frac{r}{r_0}}\cr ~\approx~&\frac{r}{r_0}-\frac{\pi}{2}\quad\text{for}\quad r~\to~\infty. \end{align} \tag{I}$$