¿Por qué la parte angular de la ecuación de Schrödinger debe ser una función propia de L^2?

Tiene que ver con el laplaciano.$(\nabla^2)$. Al probar una solución separable

$$\psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$$

Obtendrás dos ODE, una ecuación radial y otra angular. Deben ser iguales a las constantes de separación. Resulta que la parte angular es la$L^2$operador. puedes reescribir

$$H \psi = E \psi$$ como $$\left( \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + V(r) \right) \psi = E \psi$$ Pero $$\nabla^2 = \left(\frac{1}{r^2}\partial_r ( r^2 \partial_r ) - \frac{1}{\sin{\theta}} \partial_{\theta} (\sin{\theta}\, \partial_{\theta}) + \frac{1}{\sin^2{\theta}} \partial_{\phi \phi} \right) = \left(\frac{1}{r^2}\partial_r ( r^2 \partial_r ) + \frac{L^2}{\hbar^2} \right)$$ Ahora, insertando la relación anterior para $\psi$en nuestra ecuación de Schrödinger y encontrando constantes de separación para las ODE, obtendrá una ODE de oscilador armónico de segundo orden para $\Phi(\phi)$lo que prueba que tendrá valores enteros de m y la ecuación de Legendre asociada que producirá $P^m_l (\cos{\theta})$. Combinados, estos le darán los armónicos esféricos que deben ser soluciones a esta ecuación angular y, a la inversa, funciones propias de $L^2$con valores propios $l(l+1)$

El operador$L^2$es una simetría del hamiltoniano, lo que significa que$[H,L^2] = 0$. Esto significa que podemos encontrar funciones propias simultáneas para$H$y$L^2$desde$HL^2 | \psi \rangle = L^2 H | \psi \rangle = \ell (\ell + 1) E | \psi \rangle$. El operador$L^2$no depende de la coordenada radial, por lo que la parte angular de la función de onda del hidrógeno se puede elegir para que sea una función propia de$L^2$. Esto es útil ya que permite etiquetar estados con números cuánticos correspondientes a la energía y el momento angular del estado.

En general, siempre que tenga un potencial esféricamente simétrico (como en el caso del átomo de hidrógeno), los armónicos esféricos aparecerán como funciones propias de la parte angular.