¿Cómo calcular la energía potencial de los osciladores acoplados?

Como sugirió @mikestone en los comentarios, la forma más fácil de resolver este problema es sumando las energías potenciales de todos los resortes.

Sin embargo, me gustaría comentar sobre el enfoque descrito en la pregunta: las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como

$$m\ddot{x}_1 = -\frac{\partial V(x_1, x_2)}{\partial x_1} = -2kx_1 + kx_2,\\ m\ddot{x}_2 = -\frac{\partial V(x_1, x_2)}{\partial x_2} = -2kx_2 + kx_1,$$ dónde$V(x_1, x_2)$es la energía potencial de los dos osciladores. Así tenemos dos ecuaciones diferenciales parciales (pde) para esta energía potencial. Integrando el primero con respecto a$x_1$obtenemos: $$V(x_1, x_2) = kx_1^2 - kx_2x_1 + C(x_2),$$ es decir, obtenemos$V(x_1, x_2)$hasta una constante desconocida,$C(x_2)$, que puede depender de$x_2$(dado que la ecuación diferencial es con respecto a$x_1$). Sustituyendo esto en la segunda ecuación obtenemos: $$\frac{\partial V(x_1, x_2)}{\partial x_2} = -kx_1 +\frac{dC(x_2)}{dx_2} = 2kx_2 - kx_1,$$ eso es $$\frac{dC(x_2)}{dx_2} = 2kx_2 \Rightarrow C(x_2) = kx_2^2$$ (hasta una constante independiente de cualquiera de$x_1$o$x_2$), y obtenemos $$V(x_1, x_2) = kx_1^2 + kx_2^2 -kx_1x_2.$$

La pregunta se puede resolver sin integración. La energía potencial se almacena únicamente en los manantiales.

Deje que el resorte más a la derecha se estire por cantidad$x_2$, Y el resorte más a la izquierda se estira por cantidad$x_1$entonces el resorte medio se estirará por cantidad$(x_2 - x_1)$.($As\ shown\ in \ figure$)

$$(2a +x_2)-(a+ x_1)= a+ x_2 - x_1 \qquad (Proof)$$

donde a es la longitud del resorte.

La energía potencial del resorte está dada por$V(x) = \frac{1}{2}kx^{2}$

La energía potencial del resorte más a la izquierda es$V(x_1) = \frac{1}{2}kx^{2}_1 \qquad ...(1)$

La energía potencial del resorte más a la derecha es$V(x_2) = \frac{1}{2}kx^{2}_2 \qquad ...(2)$

La energía potencial del resorte medio es$V(x_3) = \frac{1}{2}k(x_1-x_2)^{2}\qquad ...(3)$

Sumar las ecuaciones (1), (2) y (3)

$$V(x)=V(x_1)+V(x_2)+V(x_3)$$

$$V(x) = kx^{2}_1 + kx^{2}_2 - kx_1x_2$$

Aquí hay una versión ligeramente diferente de la respuesta de otra persona que no asume que las constantes de resorte son necesariamente las mismas. También utiliza el método de inspección , basado en la idea de que la energía potencial de un resorte es$\frac{1}{2}\kappa \times \hbox{stretch}^2$(o compresión).

Para su primer resorte a la izquierda, el estiramiento vendría del desplazamiento$x_1$entonces$V_1=\frac{1}{2}\kappa_1 x_1^2$. Para el resorte en el medio el tramo es$\vert x_1-x_2\vert$para que consigas$V_2=\frac{1}{2}\kappa_2(x_1-x_2)^2$. Para el resorte a la derecha$V_3=\frac{1}{2}\kappa_3 x_2^2$.

Entonces solo es cuestión de encontrar el$\kappa_i$está usando las ecuaciones de movimiento:

$$\begin{align} m\ddot{x_1}&=-\kappa_1 x_1 -\kappa_2 (x_1-x_2)=-(\kappa_1+\kappa_2)x_2+\kappa_2x_2\, ,\\ m\ddot{x_2}&=\kappa_2(x_1-x_2)-\kappa_3 x_2=-(\kappa_2+\kappa_3)x_2+\kappa_2 x_1 \end{align}$$

Comparación directa con los rendimientos de sus EOM$\kappa_2=\kappa_1=\kappa_3=k$entonces la energía potencial neta es

$$V=V_1+V_2+V_3=\frac{1}{2}k\left(x_1^2+x_2^2+(x_1-x_2)^2\right)\, .$$