Grado superficial de divergencia

El primer paso es tener una idea de lo que son las gráficas divergentes de nuestra teoría. "Gráfico" en lo siguiente significa un gráfico de Feynman irreducible de 1 partícula para nuestra teoría, cuya amplitud queremos calcular en el espacio de momento .

Dado tal gráfico, cada enlace interno de tipo$i$contribuye a la amplitud un propagador que, en el límite UV se comporta como

Cada enlace interno también aporta una$\int d^{(D)}k$. Pero cada vértice interno aporta un Dirac$\delta$imponer la conservación de la cantidad de movimiento, lo que elimina algunas de estas integrales, lo que nos permite integrar solo una impulsión libre por bucle en el gráfico.

En el caso más simple (es decir, los términos de interacción no involucran ninguna derivada de campo ni nada inusual), cada vértice de tipo$a$solo contribuye con la constante de acoplamiento correspondiente$c_a$(y el ya mencionado Dirac$\delta$).

Así que si ponemos un corte$\Lambda$en toda integral, el comportamiento UV de nuestra amplitud será algo así como:

Haciendo un poco de combinatoria de grafos, tenemos la siguiente relación:

1. agregar un nuevo vértice, dividiendo un enlace interno existente o una pierna externa en dos, que agregan$1$vértice y$1$enlace interno;

2. agregue una nueva pierna externa, adjuntándola a un vértice existente, lo que no cambia la cantidad de bucles, vértices o enlaces internos;

3. agregue un nuevo enlace interno conectando 2 vértices existentes, que agregan$1$bucle y$1$enlace interno

Poniendo todo junto, obtenemos un comportamiento UV para nuestro gráfico que dice así$\Lambda ^S$dónde:

Podemos comprobar que la expresión para$S$tiene sentido con un análisis dimensional rápido y sucio: para obtener una función de n puntos$\left\langle \Pi _i \phi _i^{E_i} \right\rangle$(dimensión de masa$\sum _i E_i \sigma _i$), necesitamos multiplicar la amplitud del gráfico por el propagador en el caparazón en cada pierna externa (dimensión$\sum _i E_i (2\sigma _i - D)$), incluir un Dirac$\delta$para la conservación de la cantidad de movimiento general ($\delta (\sum k)$, dimensión$-D$) y realice una transformada inversa de Fourier para cada pierna externa ($\int \!d^{(D)}k \dots$, dimensión$\left(\sum _i E_i\right) D$), por lo que la amplitud en sí debe tener dimensión$D - \sum _i E_i \sigma _i$. Como contiene 1 factor de$c_a$por vértice de tipo$a$debe comportarse en el límite UV como

Si$S = 0$, es seguro asumir algún tipo de divergencia logarítmica (como en$\int \!dk\, \frac{1}{k}$), aunque no podemos decir a priori si es$\ln \Lambda$,$\ln^2 \Lambda$,... (lo mismo ocurre con los gráficos con$S > 0$por supuesto: bien pueden ser de hecho$\Lambda ^S \, \ln \Lambda$divergente por ejemplo).

Finalmente, es importante recalcar que incluso un gráfico con$S < 0$podría ser divergente, por ejemplo, porque contiene un subgrafo divergente . Es por eso$S$se llama el grado superficial de divergencia . Si bien los subgrafos divergentes contribuirían positivamente a la general$\Lambda$potencia de la gráfica, podrían estar ocultas por una potencia suficientemente negativa de$\Lambda$en el resto del gráfico.

Contratérminos

Si$S<0$para todos los gráficos, ¡genial! nuestra teoría probablemente esté bien ² tal como está, y podemos empezar a usarla de inmediato. De lo contrario, debemos hacer algo con estos gráficos de Feynman divergentes. Veamos cómo funciona para$\phi ^4$en$D = 3+1 = 4$dimensiones. La dimensión del campo es$\sigma = 1$y la constante de acoplamiento tiene dimensión$\tau = 0$, entonces$S = 4 - E$. Desde$E = 4 V - 2 I$(ver arriba), en esta teoría solo se pueden construir gráficos con un número par de patas externas.

Ignorando los subgráficos divergentes por un momento, los gráficos con$2$Las piernas externas serán divergentes como$\Lambda ^2$, por lo que si resumimos todos esos gráficos obtenemos un vértice bivalente efectivo

$\sum$ $=$ $= \text{finite part} + \alpha \Lambda ^2$

Podemos compensar la divergencia agregando al Lagrangiano un término$-\alpha \Lambda ^2 \, \phi ^2$, es decir, renormalización masiva . Denotemos por el nuevo vértice correspondiente. Reanudando todos los gráficos nuevamente, pero ahora incluyendo los adicionales que se pueden construir usando este nuevo vértice, obtenemos un vértice bivalente renormalizado

$+$ $=$ $= \text{finite part}$

donde los números primos indican que el nuevo vértice también ha sido insertado de todas las formas posibles dentro de los gráficos que contribuyen a : esto se ocupa de sus subgrafos bivalentes divergentes.

Tenga en cuenta que existe cierta ambigüedad en la división de "parte finita" frente a "parte divergente" (dada una función divergente$f(\Lambda )$no existe una forma canónica de definir su "parte convergente", especialmente porque no queremos que el resultado sea sensible a los detalles de cómo imponemos el límite), por lo que en esta etapa solo conocemos el vértice bivalente renormalizado hasta alguna constante. Para fijar esta constante, necesitamos medir la función de 2 puntos para algunos momentos entrantes: esto determina la masa física renormalizada de nuestro campo y, conociéndola, podemos calcular todos los momentos entrantes posibles.

A continuación hacemos lo mismo para el vértice tetravalente efectivo. Esta vez, la divergencia superficial es logarítmica, digamos$\ln \Lambda$, por lo que necesitamos agregar al Lagrangiano un término$-\beta \ln \Lambda \, \phi ^4$, es decir, renormalización constante de acoplamiento . Nuevamente, la ambigüedad en la eliminación de la divergencia deberá corregirse midiendo el valor físico de la constante de acoplamiento (a alguna energía).

¡Y eso es! Todos los gráficos con un mayor número de patas externas son convergentes, salvo los subgrafos divergentes que se corregirán con los contratérminos recién agregados. De hecho, para cualquier gráfico que incluya, digamos, un subgráfico bivalente divergente dado , habrá un gráfico idéntico con el vértice del contratérmino en lugar de , que cancelará exactamente la divergencia al reanudar todos los gráficos.

Renormalizabilidad de conteo de potencia

Entonces, ¿qué falla en una teoría que tiene una o más constantes de acoplamiento con una dimensión de masa negativa (por ejemplo,$\phi ^6$en$D = 4$, teniendo$\tau = -2$)? Entonces, incluso si las dimensiones de la masa$\sigma _i$de los campos son todos no negativos (que suele ser el caso), los gráficos con un número arbitrariamente alto de patas externas se pueden hacer superficialmente divergentes simplemente al esconder en ellos suficientes vértices internos con negativo$\tau$.

Además, para un número determinado de patas externas, el grado de divergencia superficial se puede hacer arbitrariamente alto (nuevamente al tener suficientes vértices internos), pero esto no sería necesariamente preocupante por sí solo: solo significaría que tendríamos que agregue un contratérmino con esa estructura de pierna en particular y un$f(\Lambda )$prefactor divergente que sería la suma de todos los posibles$\Lambda ^S$-divergencias. Aún así, podríamos corregir a priori las ambigüedades asociadas con este contratérmino en particular con solo 1 medición del correspondiente$n$-función de punto.

El verdadero problema es que necesitamos una cantidad infinita de estos contratérminos y una cantidad infinita de medidas para fijar las correspondientes constantes físicas de acoplamiento verdaderas. Entonces, el criterio para la renormalizabilidad del conteo de potencia se puede establecer como:

Una teoría es renormalizable contando potencias si y solo si existe un número finito de estructuras de catetos que admiten grafos superficialmente divergentes.

En una primera aproximación, los contratérminos que habrá que añadir al Lagrangiano de una teoría renormalizable corresponden a aquellas estructuras de catetos que admiten grafos superficialmente divergentes.

Para ser honesto, nunca he visto un argumento completamente convincente de por qué no podría suceder que un contratérmino con un cierto número de patas curaría, al mismo tiempo, mágicamente las divergencias superficiales de los gráficos con más patas. Especialmente en una teoría donde el grado de divergencia en$n$las piernas se pueden hacer arbitrariamente altas, altamente divergentes incrustadas$n$Los subgrafos -valentes podrían, por sí solos, explicar la divergencia superficial de los gráficos con estructuras arbitrarias de patas. Sin embargo, en "Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos" de Zinn-Justin, aquellas teorías en las que el grado de divergencia puede hacerse arbitrariamente alto se consideran irremediablemente divergentes, mientras que las teorías que tienen infinitas estructuras de piernas superficialmente divergentes aunque con un grado limitado de divergencia (lo que puede suceder si hay un campo y una constante de acoplamiento con dimensión de masa$0$) se dice que son "generalmente no renormalizables". Supongo que la razón aquí es algo así como:

1. en la práctica , es poco probable que un contratérmino con una determinada estructura de piernas cure todas las divergencias de gráficos superficialmente divergentes con una estructura de piernas diferente;

2. y el conteo de poder de todos modos no pretende ser una prueba matemáticamente rigurosa definitiva de (no) renormalizabilidad, sino más bien una herramienta de diagnóstico rápido, para estimar qué tan gravemente enferma está la teoría.

_{1 Hay excepciones a esta regla, pero es suficiente para nosotros aquí, ya que se cumple para escalar y espín.$\frac{1}{2}$campos. Consulte el libro de Zinn-Justin mencionado anteriormente para obtener más detalles.}

_{2 Esto no debe confundirse con la llamada "super-renormalizabilidad", una terminología reservada para teorías que, si bien tienen algunas divergencias UV, solo tienen un número finito de gráficos superficialmente divergentes . Esto ocurre, por ejemplo, si todas las constantes de acoplamiento tienen dimensiones de masa estrictamente positivas (y todos los campos tienen dimensiones de masa no negativas). Entonces, todos los gráficos superficialmente divergentes deben tener menos de un cierto número máximo de vértices (lo que también pone un límite al número de patas externas, ya que$E \leqslant \sum _a V_a n_{a}$), y como el número de grafos con un número dado de vértices es finito, se puede demostrar que el número de grafos superficialmente divergentes es finito. De lo contrario,$\phi ^4$en$4$dimensiones es renormalizable pero no súper-renormalizable porque, mientras que todos sus gráficos superficialmente divergentes tienen 2 o 4 patas externas, hay un número infinito de ellos (por ejemplo, , ,$\dots$son todos superficialmente divergentes).}

El conteo de potencias da la presencia de nuevos grados de libertad en cada nuevo orden de expansión, haciendo un total de infinitos.