Una anomalía es una simetría de la acción clásica que deja de ser una simetría de la integral de trayectoria, debido a la no invariancia de la medida de la integral de trayectoria. ¿Ocurre alguna vez que sucede lo contrario, es decir, que la acción clásica no posee simetría, pero la transformación combinada de la acción y la medida deja invariante la integral de trayectoria? ¿Existe un nombre para tal simetría de la teoría cuantizada que no existe en la teoría clásica?
La siguiente situación no es infrecuente: clásicamente, una simetría puede romperse (espontáneamente), pero, mecánicamente cuánticamente, la simetría se restaura. Dicho de otra manera, las fluctuaciones cuánticas pueden, bajo ciertas condiciones bien entendidas, destruir la asimetría clásica ("orden"). El ejemplo más simple es probablemente el potencial de pozo doble unidimensional, centrado simétricamente alrededor del origen, con mínimos en . Estos mínimos representan dos estados básicos, clásicamente degenerados: una partícula que se desliza desde el pico central terminará en el fondo izquierdo o derecho del pozo y descansará allí al final una vez que su energía cinética haya desaparecido. Entonces, la simetría de reflexión discreta, , de la acción clásica (o potencial) es violado ("roto espontáneamente) por el estado fundamental de energía mínima.
Sin embargo, mecánicamente cuánticamente, la simetría se restaura a través de túneles: las fluctuaciones cuánticas (alrededor de los instantes que representan las soluciones clásicas que conectan los mínimos) producen dos estados bajos. Su división de nivel se puede calcular utilizando una integral de trayectoria mecánica cuántica y viene dada por el determinante de fluctuación que resulta de la aproximación de la fase estacionaria (o WKLB). Se puede encontrar una buena exposición en el libro de Coleman, Aspects of Symmetry , cap. 7.
Toda la historia tiene ramificaciones en dimensiones superiores. Una simetría continua (en lugar de discreta) no puede romperse espontáneamente en dos dimensiones, ya que las fluctuaciones cuánticas vuelven a dominar (a menudo denominado teorema de Mermin-Wagner-Coleman). Todo esto puede reformularse en el lenguaje de la teoría estadística de campos (presencia o ausencia de transiciones de fase). Pero la idea general es realmente que las fluctuaciones cuánticas, si son lo suficientemente fuertes, pueden "borrar" la asimetría clásica y, por lo tanto, restaurar la simetría.
Tenga en cuenta que la asimetría clásica es solo del estado fundamental: la acción en sí permanece simétrica. Esa es la principal característica de la ruptura espontánea de la simetría.
Valter Moretti
Asperanz
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