Regularización de la función δδ\delta y anomalía quiral en la gravedad

El libro QFT de Mark Srednicki presenta una regularización del$\delta$función en el cálculo de la anomalía quiral (ver la sección 77 del libro). Esta regularización dice

$$\begin{equation} \delta (x-y)=\lim_{M \rightarrow \infty}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} e^{(i\gamma ^{\mu}D_{\mu})^2/M^2}\circ e^{-ik(x-y)}, \end{equation}$$ dónde$D_{\mu}=\partial_{\mu}-igA_{\mu}$.

Ahora estoy tratando de aplicar este método para calcular la anomalía quiral de un fermión sin masa en un campo de gravedad pero sin campo de calibre. La acción en el campo gravitatorio es

$$\begin{equation} S=\int d^4x \sqrt{g}\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi, \end{equation}$$ dónde$D_{\mu}$ahora es$\partial_{\mu}+\frac{1}{2}\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$. Bajo una transformación quiral $$\begin{equation} \Psi'(x)=e^{-i\alpha(x)\gamma^5}\Psi(x)=\int d^4y ~\delta(x-y)e^{-i\alpha(y)\gamma^5}\Psi(y), \end{equation}$$ se obtiene el desplazamiento de la medida integral de trayectoria: $$\begin{equation} \mathcal{D \Psi'}\mathcal{D}{\bar{\Psi}'}=\mathcal{D \Psi}\mathcal{D}{\bar{\Psi}}\exp\bigg\{2i\int d^4x \alpha(x) Tr[\delta (x-x) \gamma^5]\bigg\}. \end{equation}$$ En este paso, todavía regularizo$\delta$funcionan como $$\begin{equation} \begin{aligned} \delta (x-y)&=\lim_{M \rightarrow \infty}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} e^{(i\gamma ^{\mu}D_{\mu})^2/M^2}\circ e^{-ik(x-y)}\\ &=\lim_{M \rightarrow \infty}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ik(x-y)}\circ e^{-(\gamma ^{\mu}D_{\mu}-ik_{\mu}\gamma^{\mu})^2/M^2}. \end{aligned} \end{equation}$$ Podemos expandir el cuadrado como $$\begin{equation} (\gamma ^{\mu}D_{\mu}-ik_{\mu}\gamma^{\mu})^2=\frac{1}{\sqrt{g}}D_{\mu}\sqrt{g}g^{\mu \nu}D_{\nu}-\frac{R}{4}+\{\gamma ^{\mu}D_{\mu},-ik_{\mu}\gamma^{\mu}\}-k^2. \end{equation}$$ Aquí no puedo continuar. ¿Podría alguien por favor corregirme? Ya he sabido que el resultado es una expresión cuadrática en términos del tensor de Riemann y su dual. Así que supongo que el cuadrado debería producir algo como$[D_{\mu},D_{\nu}]=R^{ab}_{\mu \nu}\sigma_{ab}/2$, junto con el$\gamma^5$puesto en el rastro, el resultado se puede recuperar.