Weinberg Volumen II: Función de anomalía abeliana

Lo siguiente es de la página 363 del volumen II de Weinberg.

Deseamos evaluar el RHS de

$$\begin{align}\label{EQbbvbv} [d \psi][d \bar{\psi}] \rightarrow(\operatorname{Det} \mathscr{U} \operatorname{Det} \overline{\mathscr{U}})^{-1}[d \psi][d \bar{\psi}], \end{align}$$

para encontrar el efecto sobre la medida de las variables de integración de cambio de trayectoria correspondientes a una transformación matricial local$\begin{align} \psi(x) \rightarrow U(x) \psi(x) \end{align}$. Definimos

$$\begin{align}\notag \mathscr{U}_{x n, y m} &:=U(x)_{n m} \delta^{4}(x-y), \text{ and}\\\label{EQdwdf22vfr} %% %% \bar{\mathscr{U}}_{x n, y m} &:=\left[\gamma_{4} U(x)^{\dagger} \gamma_{4}\right]_{n m} \delta^{4}(x-y), \end{align}$$ dónde$\gamma_{4} := i \gamma^{0}$se utiliza para definir$\bar{\psi}=\psi^{\dagger} \gamma_{4}$.

También tenga en cuenta que los índices$n,m$atropella las etiquetas de sabor y los índices de giro de Dirac.

Dejenos considerar$\alpha(x)$ser una función escalar infinitesimal en la transformación

$$\begin{align}\label{EQmnmmb4} U(x)=\exp \left[i \gamma_{5} \alpha(x) t\right] \end{align}$$ dónde$t$es una matriz hermítica general.

Tenga en cuenta que Weinberg omite el cálculo de aquí, por lo que las siguientes 3 ecuaciones son mi propio trabajo.

En este caso, dado que la expansión de Taylor de la exponencial tiene contribuciones insignificantes de términos de orden mayores que en$\alpha$, se obtiene que

$$\begin{align} [\mathscr{U}-1]_{n x, m y}=i \alpha(x)[\gamma _5 t]_{n m} \delta^{4}(x-y). \end{align}$$ Por lo tanto, $$\begin{align} \operatorname{Det} \mathscr{U} &= \exp{\text{Tr} \ln \{1+i \alpha(x)\left[\gamma_{5} t\right]_{n m} \delta^{4}(x-y)\}}\\ %% %% &= \exp{\, i \alpha(x)\text{Tr}\{\gamma_{5} t\} \delta^{4}(x-y)}, \end{align}$$ donde hemos usado la identidad para el determinante de una matriz$M$,$\operatorname{Det} M=\exp \operatorname{Tr} \ln M$, y eso$\ln (1+x)\rightarrow x$como$x\rightarrow 0.$Pero desde$\mathscr U$es pseudo-hermitiano,$(\begin{align} \overline{\mathscr{U}}=\mathscr{U} \end{align})$tenemos

$$\begin{align} [d \psi][d \bar{\psi}] \rightarrow(\operatorname{Det} \mathscr{U})^{-2}[d \psi][d \bar{\psi}]. \end{align}$$

Weinberg ahora afirma que la medida cambia bajo esta transformación como

$$\begin{align}\label{EQnmnnghr3} [d \psi][d \bar{\psi}] \rightarrow \exp \left\{i \int d^{4} x \alpha(x) \mathscr{A}(x)\right\}[d \psi][d \bar{\psi}], \end{align}$$ donde definimos la función de anomalía $$\begin{align}\label{EQvccvezz33r43} \mathscr{A}(x)=-2 \operatorname{Tr}\left\{\gamma_{5} t\right\} \delta^{4}(x-x). \end{align}$$ Usamos 'Tr' para denotar un rastro que se tomará sobre los índices de Dirac y especies.

Pregunta 1 : ¿Dónde está el$\delta^{4}(x-x)$¿viene de? No veo ninguna razón por la que el argumento de la función delta pueda cambiar en los cálculos que realicé.

Pregunta 2 : ¿De dónde sale la integral sobre$d^4 x$viene en la penúltima ecuación? Si estamos trabajando con el jacobiano como en el lado derecho de la primera ecuación, no veo cómo podría aparecer una integral.

Pregunta 3 : Esta es definitivamente una pregunta bastante trivial, pero nunca me he encontrado$\gamma^4$antes... estoy acostumbrado a la definición$\bar{\psi}=\psi^{\dagger} \gamma_{0}$. Esta es probablemente solo una representación diferente de los espinores. Si es así, ¿podría ponerle un nombre, por favor? Parece que no puedo encontrarlo. Pregunta trivial final: ¿qué es un índice de especies?