¿Por qué usamos formas infinitesimales de operadores?

El uso de formas infinitesimales es una conveniencia, no una necesidad. El teorema de Stone explica por qué podemos salirnos con la nuestra. La última parte de esta respuesta menciona dos razones por las que podríamos querer salirnos con la nuestra.

Primero, aquí hay una forma de pensar sobre la relación entre un generador $G$y el correspondiente grupo unitario de un parámetro$U(x)=\exp(iGx)$. Si tenemos un grupo de un parámetro de operadores unitarios (mutuamente conmutados)$U(x)$, podemos definir$G$por

$$\frac{d}{dx}U(x)=iGU(x). \tag{1}$$ Por el contrario, dado$G$, podemos definir$U(x)$por la ecuación (1) junto con la condición $$U(0)=1, \tag{2}$$ dónde$1$denota el operador de identidad. He aquí un ejemplo simple: Supongamos que se nos da $$G = -i\left(\begin{matrix} 0&-1\\ 1&0\end{matrix}\right), \tag{3}$$ y queremos determinar$U(x)=\exp(iGx)$. Las ecuaciones (1)-(2) se satisfacen por $$G = \left(\begin{matrix} \cos x &-\sin x\\ \sin x&\cos x\end{matrix}\right). \tag{3}$$ Dado que (1) es una ecuación diferencial de primer orden, su solución está especificada únicamente por la condición inicial (2), por lo que (3) es la única solución para (1)-(2).

Escribimos la solución como exponencial porque las ecuaciones (1)-(2) implican

$$U(x)U(y)=U(x+y), \tag{4}$$ que es la propiedad característica de las exponenciales. por infinitesimal$x$, las ecuaciones (1)-(2) implican$U(x)=1+iGx+O(x^2)$. Esto nuevamente es consistente con referirse a$U(x)$como el "exponencial" de$iGx$.

Aquí hay dos razones por las que podríamos querer trabajar con un álgebra de Lie (también conocido como los generadores del grupo de Lie) en lugar de trabajar con el propio grupo de Lie:

• Aunque las representaciones unitarias del grupo de rotación SO(3) son suficientes para describir cómo se transforman los observables , los observables a menudo se construyen usando otras cantidades que se transforman de acuerdo con una representación unitaria del grupo de cobertura de SO(3), que es SU(2) . Aquí hay una publicación relacionada, que muestra cómo esta idea se extiende desde el grupo de rotación hasta el grupo de Lorentz: https://physics.stackexchange.com/a/437221/206691. Una de las ventajas de trabajar con los generadores de rotaciones en lugar de las propias rotaciones es que los generadores de SO(3) satisfacen el mismo álgebra (relaciones de conmutación) que los generadores del grupo de cobertura SU(2). Al trabajar con los generadores, podemos hacer algunas partes de algunos cálculos sin especificar cuál de estos dos grupos está involucrado. De manera más general, al trabajar con representaciones de un álgebra de Lie, automáticamente estamos incluyendo todas las representaciones del grupo de cobertura (simplemente conectado). Esto se expresa con más cuidado en la sección 8.1 de Fulton y Harris (1991), Representation Theory: A First Course .

• Incluso cuando se trata de traslaciones lineales (en lugar de rotaciones), suele ser conveniente trabajar con las formas infinitesimales. Para traslaciones en el espacio, las formas infinitesimales son los operadores de cantidad de movimiento (total); y para traslaciones en el tiempo, la forma infinitesimal es el operador hamiltoniano (energía total). Escribir una expresión explícita para el hamiltoniano es más fácil que escribir una expresión explícita para el operador unitario que implementa una traslación finita en el tiempo. En otras palabras, escribir la ecuación de Schrödinger es más fácil que escribir la solución más general de la ecuación de Schrödinger... y eso es quedarse corto.