Polinomio quíntico sobre racionales, con grupo de Galois de orden mayor a 242424, ¿no es resoluble por radicales?

tu condición$[E:\mathbb Q] > 24$implica claramente que la quíntica es irreducible.

Por este resultado (debido al propio Evariste Galois) un polinomio irreducible de primer grado es resoluble si y solo si su campo divisorio se obtiene uniendo dos raíces. Si unes dos raíces de una quíntica, obtienes una extensión de campo de grado$\leq 20$. De ahí la condición$[E:\mathbb Q] > 24$da como resultado que el polinomio no es soluble.

Claramente basta con demostrar que$S_5$no tiene un subgrupo de orden$30$o$40$.

Para ver eso$S_5$no tiene subgrupo de orden$30$, podemos proceder de la siguiente manera: La combinatoria fácil muestra que$S_5$contiene$20$3 ciclos, por lo tanto$10$subgrupos de 3-Sylow, por lo tanto, el normalizador de un subgrupo de 3-Sylow tiene índice$10$, por eso$12$elementos. Ahora deja$G$Sea un grupo de 30 elementos. Las únicas posibilidades para los subgrupos número 3-Sylow son$1$y$10$. Si hay un subgrupo 3-Sylow, el normalizador del mismo debe ser la totalidad de$G$. Ahora si$G$se incrusta en$S_5$, entonces el normalizador del subgrupo 3-Sylow en$G$es un subgrupo del normalizador del mismo subgrupo 3-Sylow en$S_5$, pero esto implica que$30 | 12$por el teorema de Lagrange que es absurdo. Supongamos que hay$10$3-Subgrupos de Sylow, entonces hay$20$elementos de orden$3$en$G$. Esto fuerza el número de$5$-Sylow subgrupos a ser$1$, por lo demás$G$Tendría demasiados elementos. Ahora, si solo hay un subgrupo de 5-Sylow, entonces el normalizador de este subgrupo de 5-Sylow es$G$, pero el normalizador de un subgrupo de 5-Sylow en$S_5$tiene$20$elementos, por lo que es imposible que$G$se incrusta en$S_5$.

Ver que un grupo$G$de orden$40$no se incrusta en$S_5$es aún más fácil, porque los teoremas de Sylow obligan a que el número de subgrupos de 5-Sylow sea$1$, por lo que el normalizador del subgrupo 5-Sylow es$G$, pero el normalizador de un subgrupo de 5-Sylow en$S_5$tiene 20 elementos, lo que implicaría$40 | 20$por el teorema de Lagrange.