Ultraproducto de la clausura algebraica de cuerpos finitos

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Ultraproducto de la clausura algebraica de cuerpos finitos

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Matemáticas
teoría de campo
campos finitos
teoría de galois
álgebra abstracta

jox

Ok, he investigado un poco sobre el siguiente problema, y hay demostraciones simples usando la teoría de modelos, la lógica y el teorema de Łoś. Pero aquí, la idea es demostrarlo utilizando únicamente la Teoría de Campos, la Teoría de Galois y la teoría básica de las extensiones trascendentales. Este es el problema:

Dejar $W$ sea el conjunto de los números primos y sea $\mathfrak{U}$ ser un ultrafiltro no principal sobre $W$ . por cada primo $p$ , dejar $\overline{\mathbb{F}_p}$ denote un cierre algebraico de $\mathbb{F}_p$ . En el siguiente producto

\prod_{pag \in W} \bar{F_{pag}},

$\prod_{p\in W} \overline{\mathbb{F}_p},$ definir la relación de equivalencia

(a_{p}) \sim (b_{p})

$(a_p)\sim (b_p)$ si y solo si

{p \in W : a_{p} = b_{p}}

$\{p\in W: a_p=b_p\}$ pertenece a

U

$\mathfrak{U}$ .

Dejar

A = \prod_{pag \in W} \bar{F_{pag}} / \sim

$A=\prod_{p \in W} \overline{\mathbb{F}_p} ~/~ \sim$ denota el conjunto de clases de equivalencia, tal que

[a_{p}]

$[a_p]$ es la clase de

(a_{p})

$(a_p)$ .

Muestra esa $A$ no es contable.
Muestra esa $A$ es isomorfo a $\mathbb{C}$ .

Demostrar que la suma y el producto ( $[a_p]+[b_p]=[a_p+b_p]$ , $[a_p][b_p]=[a_pb_p]$ ) están bien definidos en $A$ y eso $\text{char}(A)=0$ es tedioso pero tranquilo sencillo. Por otro lado, demostrar (1) y (2) ha sido una tarea bastante difícil. Para (1), honestamente no tengo idea de cómo proceder; y para (2) he intentado usar el hecho de que $\mathbb{C}$ tiene un número infinito de automorfismos, pero no he tenido suerte. También creo que para probar (2) en realidad necesito demostrar que $|A|=2^{\aleph_0}$ .

Cualquier sugerencia sobre cómo proceder será realmente apreciada. Gracias de antemano por cualquier ayuda que proporcione.

Lubín

¿No puedes mostrar eso?

A

$A$ es algebraicamente cerrado? Intentaría una estrategia puramente ad hoc para mostrar la cardinalidad continua, pero alguien más tendrá que sugerir más que eso.

jox

Oh, de hecho (si no me equivoco), si uno tiene dos campos cerrados incontables, con la misma cardinalidad y la misma característica, entonces son isomorfos. Así que mostrando

A

$A$ es algebraicamente cerrado y que tiene la cardinalidad del continuo funcionaría. En este momento estoy tratando de usar el argumento diagonal de Cantor para probar

A

$A$ en no contable, creo que funcionará. Pero todavía no tengo ni idea de probar que

| A | = 2^{ℵ_{0}}

$|A|=2^{\aleph_0}$ o que es algebraicamente cerrado.

Martín Brandeburgo

He corregido la notación.

Wei Wang

@PJOX. Una sugerencia para (1): use el argumento de diagonalización de Cantor para mostrar que para una secuencia contable

([a_{n, p}] : n \in N)

$([a_{n,p}]: n \in \mathbb{N})$ hay algo

[b_{p}]

$[b_p]$ diferente de cada uno

[a_{n, p}]

$[a_{n,p}]$ . Entonces debería ser fácil construir un árbol binario completo st cada camino infinito da un

[a_{p}]

$[a_p]$ y caminos distintos producen clases de equivalencia distintas.

watson

(2) se establece como teorema 2.4.3 en Hans Schoutens, The Use of Ultraproducts in Conmutative Algebra .

Respuestas (1)

Ultraproducto de la clausura algebraica de cuerpos finitos

¿No puedes mostrar eso? $A$ es algebraicamente cerrado? Intentaría una estrategia puramente ad hoc para mostrar la cardinalidad continua, pero alguien más tendrá que sugerir más que eso.
Oh, de hecho (si no me equivoco), si uno tiene dos campos cerrados incontables, con la misma cardinalidad y la misma característica, entonces son isomorfos. Así que mostrando $A$ es algebraicamente cerrado y que tiene la cardinalidad del continuo funcionaría. En este momento estoy tratando de usar el argumento diagonal de Cantor para probar $A$ en no contable, creo que funcionará. Pero todavía no tengo ni idea de probar que $|A|=2^{\aleph_0}$ o que es algebraicamente cerrado.
@PJOX. Una sugerencia para (1): use el argumento de diagonalización de Cantor para mostrar que para una secuencia contable $([a_{n,p}]: n \in \mathbb{N})$ hay algo $[b_p]$ diferente de cada uno $[a_{n,p}]$ . Entonces debería ser fácil construir un árbol binario completo st cada camino infinito da un $[a_p]$ y caminos distintos producen clases de equivalencia distintas.
(2) se establece como teorema 2.4.3 en Hans Schoutens, The Use of Ultraproducts in Conmutative Algebra .

Darío G. · Answer 1

En este enlace, puede encontrar una prueba de que un ultraproducto de estructuras contables con respecto a ultrafiltros no principales tiene tamaño $2^{\aleph_0}$ .

Cardinalidad del ultraproducto

Para mostrar que $A$ es algebraicamente cerrado, tenga en cuenta que por el teorema de Los $A$ satisface las oraciones

θ_{norte} := \forall y_{0}, \dots, y_{norte} (y_{norte} \neq 0 \to \exists X (y_{0} + y_{1} \cdot X + \dots + y_{norte} X^{norte} = 0))

$\theta_n:=\forall y_0,\ldots,y_n\left(y_n\neq 0\to\exists x(y_0+y_1\cdot x+\cdots+y_nx^n=0)\right)$ para

n \geq 1

$n\geq 1$ . Nótese que el conjunto de oraciones

{θ_{n} : n \geq 1}

$\{\theta_n:n\geq 1\}$ establece precisamente que el campo es algebraicamente cerrado.

Finalmente, queda por demostrar que $A$ es isomorfo a $\mathbb{C}$ , pero probablemente sea más fácil mostrar un resultado más general:

Si $K,L$ son dos cuerpos incontables algebraicamente cerrados con la misma característica y la misma cardinalidad, entonces $K\cong L$ .

La prueba de esto es la siguiente. Dejar $B_K,B_L$ base de trascendencia (subconjuntos máximos algebraicamente independientes de $K$ y $L$ respectivamente). Entonces $B_K,B_L$ tienen la misma cardinalidad, y cualquier biyección entre ellos se puede extender (por ejemplo, usando el lema de Zorn) a un isomorfismo entre $K$ y $L$ .

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Lubín

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Martín Brandeburgo

Wei Wang

watson

Respuestas (1)

Darío G.

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