¿Por qué una cadena bosónica hardcore 1D tiene una energía de estado fundamental diferente en las representaciones bosónicas y de espín?

Considere una cadena 1D periódica simple con cuatro sitios con condición de límite periódica. El hamiltoniano lee

H = t C 1 † C 2 + C 2 † C 3 + t C 3 † C 4 + C 4 † C 1 + h . C .

dónde t es la fuerza de salto. En términos de matriz, es simplemente

H = [ 0 t 0 1 t 0 1 0 0 1 0 t 1 0 t 0 ]

con valores propios [ − 1 − t , − 1 + t , 1 − t , 1 + t ] . Para | t | < 1 , el estado fundamental será un estado de dos cuerpos, que llena los dos niveles propios más bajos, de modo que la energía del estado fundamental es mi = − 2 .

Ahora supongamos que los operadores C i son hardcore-bosónicos, de modo que podemos hacer el siguiente tipo de transformación de Jordan-Wigner

C j † = ( X j + i Y j ) / 2 C j = ( X j − i Y j ) / 2

dónde X j , Y j son los operadores de Pauli en el sitio j . Como se puede comprobar, los operadores satisfacen [ C i † , C j ] = 0 si i ≠ j y { C i † , C j } = 1 si i = j . En esta representación haremos la siguiente identificación

C 1 † C 2 = X 1 + i Y 1 2 ⊗ X 2 − i Y 2 2 ⊗ I 3 ⊗ I 4

de manera similar para otros términos, de modo que el hamiltoniano lee

H =   t X 1 + i Y 1 2 ⊗ X 2 − i Y 2 2 ⊗ I 3 ⊗ I 4 + I 1 ⊗ X 2 + i Y 2 2 ⊗ X 3 − i Y 3 2 ⊗ I 4 + t I 1 ⊗ I 2 X 3 + i Y 3 2 ⊗ X 4 − i Y 4 2 + X 1 − i Y 1 2 ⊗ I 2 ⊗ I 3 ⊗ X 4 + i Y 4 2 + h . C .

el cual es un dieciséis × dieciséis matriz que contiene todos los posibles estados de muchos cuerpos. También se podría diagonalizar para obtener la energía del estado fundamental, y para | t | < 1 , Encontré mi = − 2 1 + t 2 , que es diferente del resultado anterior.

Se podría repetir el cálculo para cadenas de longitud 2 L , y descubrí que los dos métodos darán la misma energía de estado fundamental si L es extraño, mientras que parece haber discrepancia si L incluso. Esto es bastante extraño para mí, y no pude encontrar ningún error. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Los bosones duros tienen un espectro diferente al de los bosones blandos.
@JahanClaes Claro, y uso explícitamente el conmutador para el bosón duro aquí. Pero esto no explica por qué el espectro cambia cuando cambio de la representación del bosón duro a la representación del espín, cuando L es par.
Fermiones? ¿Bosones? ¿Bosones duros? (¿Y cuál de esos dónde?) El mapeo de espines/bosones incondicionales a fermiones puede tener condiciones de contorno antiperiódicas dependiendo de la paridad.
@NorbertSchuch El sistema es un bosón incondicional, y esta es la base del primer hamiltoniano. Luego trato de transformarlo en giros, que es la base para el segundo hamiltoniano. No hay ningún fermión involucrado aquí. Se supone que esto es trivial, y pensé que la condición de contorno no juega un papel aquí. ¿Estoy cometiendo un error aquí?
Dices (correctamente) que H es un dieciséis × dieciséis matrix, pero la matriz que escribiste explícitamente es 4 × 4 . Claramente no son la misma matriz.
@fqq ¿Te refieres al segundo hamiltoniano? es un producto tensorial de cuatro 2 × 2 matrices, entonces es dieciséis × dieciséis . Si se refiere al primer hamiltoniano, que se basa en el bosón duro, ese es un hamiltoniano de una sola partícula, por lo tanto, es 4x4. Estos dos no son la misma matriz, pero espero que ambos den la misma energía de estado fundamental, ya que son simplemente una representación diferente del mismo sistema.
@fagd bueno, claramente no lo hacen

Respuestas (1)

En su segundo enfoque, resuelve correctamente el problema del bosón principal (en esencia, los bosones principales son exactamente sistemas de espín de dos niveles).

En su primer enfoque, por otro lado, diagonaliza el problema de una sola partícula. Como un enfoque para resolver el problema de muchas partículas, donde posteriormente llenas todos los modos de energía negativa, esto solo funciona para partículas que no interactúan , ya sean bosones o fermiones. Sin embargo, no funcionará para bosones duros (que son bosones con una repulsión in situ infinita ).

Sin embargo, tampoco está resolviendo bosones libres en su primer enfoque: en ese caso, tendría que poner una cantidad infinita de bosones en cada modo con energía negativa, lo que lleva a una energía − ∞ . (Hablando de otra manera, para los bosones libres, las energías monomodo del hamiltoniano deben ser todas positivas).

Entonces, lo que estás haciendo es resolver el problema del fermión libre, donde llenas cada modo de energía negativa con un fermión.

Entonces, ¿cómo se compara esto con el problema del bosón central (y por qué obtienes el mismo resultado para impares?) L )?

Cuando realiza la transformación de Jordan-Wigner de fermiones a espines (= bosones de núcleo duro), obtendrá prácticamente el mismo hamiltoniano (probablemente con un signo menos general, pero sus energías de fermiones libres son simétricas alrededor de cero, por lo que esto no es grandes negocios). Sin embargo, el término a través del límite será diferente: será periódico o antiperiódico , dependiendo de la paridad total de fermiones del estado fundamental. Si no me equivoco, debería ser periódico para una paridad de estado fundamental impar . Esto es lo que está pasando para extraño L : La mitad de los modos se llenan en el estado fundamental, por lo que hay un número impar de fermiones, y el problema fermiónico sí se asigna a los bosones duros y, por lo tanto, tiene la misma energía.

Gracias por la respuesta, al menos da alguna explicación para el problema. Entonces, ¿esencialmente no existe un método de un solo cuerpo para resolver el problema del bosón extremo de muchos cuerpos, porque es un problema intrínsecamente interactivo? Pensé que después de tener en cuenta la repulsión en el sitio, el problema principal puede tratarse como si no interactuara.
@fagd No, no puede. Es por eso que estos problemas son difíciles. (No es "superdifícil", porque no tienen un problema de signo y puedes hacer Monte Carlo, a diferencia de los fermiones que interactúan, pero aún así es difícil). ¿Y qué quieres decir con "al menos da alguna explicación para el problema" -- ¿qué falta?
Sí, tengo otra pregunta. Según la lógica anterior, si tengo incluso L y una condición de límite periódica, entonces el hamiltoniano de giro no se puede asignar ni al bosón ni al fermión. ¿Qué tal si tengo incluso L y una condición de contorno antiperiódica? ¿Se puede mapear al problema del bosón de núcleo duro?
Lo has explicado muy bien y te lo agradezco mucho. Pero es contrario a la intuición, ya que pensé que la condición límite es irrelevante porque la transformación para el caso del bosón es local. Ahora me doy cuenta de que en realidad no es el caso. Y, de hecho, he probado que si la condición de frontera es abierta, independientemente de si L es par o impar, el espectro es el mismo.
Si tiene incluso L, el problema del fermión ( no lo es , repito: ¡no es un problema de bosón duro el que está resolviendo!) Debería corresponder a un sistema de espín con condición de frontera antiperiódica . ¿Intentó voltear el signo frente al término que envuelve el límite y luego comparar las energías? Lo mismo ocurrirá a la inversa: el problema de espín periódico debe corresponder a un problema de fermión antiperiódico, que también puede resolver. (Todo esto solo es cierto si esto no cambia la paridad del estado fundamental).
"Como pensé, la condición de contorno es irrelevante porque la transformación para el caso del bosón es local" : ¡ no está resolviendo un problema bosónico en el primer enfoque!
bien, veo lo que quieres decir. Simplemente debería descartar el primer enfoque para el caso del bosón, sin importar si es L par o impar o cualquier condición de contorno. Probaré la cadena antiperiódica para el caso fermiónico.
@fagd Bastante. Bueno, casi: en una dimensión, no hay diferencia entre fermiones y bosones de núcleo duro, excepto por las condiciones de contorno. Entonces, si obtiene las condiciones de contorno correctas, puede resolver sus bosones centrales mapeándolos en fermiones libres. Pero este enfoque solo funciona en una dimensión.
¿Por qué una cadena bosónica hardcore 1D tiene una energía de estado fundamental diferente en las representaciones bosónicas y de espín?
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