Sea E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. ¿Por qué VλVλV_\lambda no satisface la existencia de un Reinhardt?

Question

Sea E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. ¿Por qué VλVλV_\lambda no satisface la existencia de un Reinhardt?

teoría de conjuntos
Matemáticas
cardenales grandes

keith millar

$\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset$ si y solo si hay una incrustación elemental no trivial $j:V_\lambda\rightarrow V_\lambda$ .

Mi pregunta es por qué esto puede incluso ser consistente. Una función $j:A\rightarrow B$ para $A,B\subseteq V_\lambda$ es una incrustación elemental en $V_\lambda$ si y solo si $j$ es una función en $V_\lambda$ (lo cual es cierto), y para todo primer orden $\varphi$ :

$V_\lambda\models\forall a_0\in A((A\models\varphi(a_0))\Leftrightarrow(\exists b_0\in B((a_0,b_0)\in j\land B\models\varphi(b_0)))$
$V_\lambda\models\forall a_0,a_1\in A((A\models\varphi(a_0,a_1))\Leftrightarrow(\exists b_0,b_1\in B((a_0,b_0)\in j\land (a_1,b_1)\in j\land B\models\varphi(b_0,b_1)))$
...

Sin embargo, parece que esto es cierto si y sólo si $j:A\rightarrow B$ es una incrustación elemental real.

Primera pregunta: ¿Por qué el rango de cada cardenal I3 no es un modelo de la existencia de un cardenal Reinhardt?

Segunda pregunta: dado un cardinal suficientemente grande $\kappa$ (inaccesible, tal vez), ¿cuándo $V_\kappa$ satisfacer eso $j$ es una incrustación elemental no trivial para algunos $j\subseteq V_\kappa$ ?

Andrés E. Caicedo

λ

$\lambda$ es el supremo de la secuencia crítica, por lo que el reemplazo falla en

V_{λ}

$V_\lambda$ por el idioma

{\in, j}

$\{\in,j\}$ . Si permites la posibilidad de que

λ

$\lambda$ es en cambio el sucesor del supremo de la secuencia crítica, entonces

V_{λ}

$V_\lambda$ ni siquiera es un modelo de

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ .

asaf karaguila

La segunda pregunta no tiene sentido como se ha dicho.

Respuestas (1)

Sea E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. ¿Por qué VλVλV_\lambda no satisface la existencia de un Reinhardt?

$\lambda$ es el supremo de la secuencia crítica, por lo que el reemplazo falla en $V_\lambda$ por el idioma $\{\in,j\}$ . Si permites la posibilidad de que $\lambda$ es en cambio el sucesor del supremo de la secuencia crítica, entonces $V_\lambda$ ni siquiera es un modelo de $\mathsf{ZFC}$ .

asaf karaguila · Answer 1

asaf karaguila

El reemplazo falla en $V_\lambda$ , desde $f(n)=j^n(\kappa)$ es definible y con dominio $\omega$ , pero no es un set en $V_\lambda$ .

Entonces sí, $V_\lambda$ satisface "alguna teoría de conjuntos + elección + hay un cardenal Reinhardt". Pero no satisface lo suficiente la teoría de conjuntos para probar el teorema de Kunen. Específicamente, no hay suficiente Reemplazo en marcha en $V_\lambda$ para que la prueba funcione.

Andrés E. Caicedo

La noción de reinhardt cardinal solo tiene sentido en un lenguaje donde el reemplazo es válido para fórmulas que involucran la incrustación, por lo que creo que no es apropiado decir que

V_{λ}

$V_\lambda$ satisface "hay un cardenal Reinhardt". (También,

V_{λ}

$V_\lambda$ satisface

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ , no solo "alguna teoría de conjuntos".)

asaf karaguila

@Andres: ¿Cómo se obtiene el reemplazo en

V_{λ}

$V_\lambda$ ?, y exactamente dado que Reinhardt es algo que necesitas

j

$j$ en su idioma para incluso formular, esto destruye Reemplazo en ZFC (j), y ergo "alguna teoría de conjuntos" y no "teoría de conjuntos". Pero tienes razón, y no debería ser tan arrogante con los axiomas cuando el lenguaje es un poco turbio.

Andrés E. Caicedo

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ se formula justo en

{\in}

$\{\in\}$ entonces

j

$j$ no importa aquí. Para ver que aguanta

V_{λ}

$V_\lambda$ , tenga en cuenta que

V_{κ_{0}} ≺ V_{κ_{1}}

$V_{\kappa_0}\prec V_{\kappa_1}$ (por Tarski-Vaught, por ejemplo), y la elementalidad te da que de hecho

V_{κ_{n}} ≺ V_{κ_{n + 1}}

$V_{\kappa_n}\prec V_{\kappa_{n+1}}$ para todos

n

$n$ , así también son elementales en su unión.

keith millar

@AsafKaragila ¿Alguien no puede formular Reinhardt en NBG sin limitación de tamaño o alguna otra teoría de conjuntos de segundo orden?

arvid samuelsson

@KeithMillar Sí, como se discutió en el capítulo 1 de este documento .

Sea E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. ¿Por qué VλVλV_\lambda no satisface la existencia de un Reinhardt?

keith millar

Andrés E. Caicedo

asaf karaguila

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asaf karaguila

Andrés E. Caicedo

asaf karaguila

Andrés E. Caicedo

keith millar

arvid samuelsson

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