Cardenales mundanos vs inaccesibles, ¿por qué diferentes?

No sé la definición exacta del universo de Grothendieck que está utilizando, pero lo siguiente es el meollo del asunto y puede ajustarse para abordar algún axioma u otro de cualquiera que sea su definición.

Una propiedad que un universo de Grothendieck$U$debe satisfacer es que si$x\in U$y$f:x\to U$es una función, entonces la imagen de$f$es un elemento de$U$. Sin embargo, no puede probar esta afirmación simplemente sabiendo que$U$es un modelo de ZFC. El problema es que el único axioma que podría usar para probar esto es Reemplazo, pero Reemplazo solo se aplica a funciones definidas por alguna fórmula con parámetros. Es posible que no exista una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que defina la función$f$cuando se interpreta en$U$, incluso si permite elementos de$U$como parámetros en la fórmula.

Para conectar esto con la respuesta de Asaf, el cardenal menos mundano$\kappa$tiene cofinalidad contable y es el límite de alguna sucesión$(\alpha_n)_{n\in\omega}$, que es una función$\omega\to V_\kappa$. Sin embargo, esta función no se puede definir en la estructura.$V_\kappa$, y así Reemplazo en$V_\kappa$no requiere que esta función sea realmente un elemento de$V_\kappa$(y de hecho no lo es). Esto no es diferente de cómo un modelo contable de ZFC no sabe que es contable, ya que la función de$\omega$que sería testigo de su contabilidad no es un elemento del modelo.

El menos$\kappa$tal que$V_\kappa$es un modelo de$\sf ZFC$-si tal$\kappa$existe eso es—tiene cofinalidad$\omega$. Ciertamente no es inaccesible, ya que es singular.

Pero un universo de Grothendieck está cerrado bajo funciones arbitrarias con dominios dentro del universo. Esto significa que si$\alpha_n$es la siguiente secuencia cofinal$\kappa$, desde$\omega\in V_\kappa$, la secuencia en sí$\langle\alpha_n\mid n<\omega\rangle$tiene que estar dentro$V_\kappa$también. Pero no puede ser, ya que su supremo es$\kappa$.

Tenga en cuenta que la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck tampoco incluye la Fundación como un axioma, pero se sigue por la misma razón que la anterior. Si la Fundación falla, hay un testimonio de esto en la forma de una disminución$\omega$-secuencia, pero que sería testigo del fracaso de Fundación en el universo. Y por supuesto, esto es imposible.

Además de las otras respuestas, creo que es útil mirar una prueba para el

Hecho. El cardenal menos mundano$\kappa$, si existe, es de cofinalidad$\omega$.

Prueba (boceto). Dejar$\lambda$ser un cardenal mundano de incontable cofinalidad y fijar un buen orden$\prec$de$V_{\lambda}$. Dejar$(\phi_n \mid n \in \omega)$sea ​​una enumeración de todos los axiomas de$\mathrm{ZFC}$(o, si se quiere, de la teoría de$(V_{\lambda}; \in)$) que está cerrado bajo subfórmulas. Dejar$\lambda_0 = \omega$y dado$\lambda_i$dejar$\lambda_{i} < \lambda_{i+1}$ser mínimo tal que$V_{\lambda_{i+1}}$contiene todas las valoraciones de los$\prec$-Términos de Skolem para$(\phi_n \mid n < \omega)$con parámetros en$V_{\lambda_{i}}$, es decir, siempre que$\vec{p} \in [V_{\lambda_i}]^{<\omega}$y

A pesar de$V_{\kappa}$es un modelo de$\mathrm{ZFC}$para todos los cardenales mundanos$\kappa$, no se puede probar dentro$V_{\kappa}$eso$V_{\kappa}$es (externamente) un universo de Grothendieck, ya que eso requiere que cuantifiques sobre clases de tamaño (externo)$\kappa$, que no puedes hacer dentro$V_{\kappa}$desde$\kappa \not \in V_{\kappa}$.