Expresión de paquetes de ondas y transformadas de Fourier

Leí en el artículo de Wikipedia sobre paquetes de ondas que un paquete de ondas se define como:

(a) ψ ( X , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ gramo ( k ) mi i ( k X − ω t ) d k
dónde
(b) gramo ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ψ ( X , 0 ) mi − i k X d X
Ahora me gustaría entender matemáticamente de dónde vienen estas fórmulas.

Como ejemplo inicial, si pones t = 0 en ( a ) , tu obtienes

(C) ψ ( X , 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ gramo ( k ) mi i k X d k
y
(d) gramo ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ψ ( X , 0 ) mi − i k X d X ,
y estas dos ultimas formulas son claras − es el teorema de la transformada inversa de Fourier.

Sin embargo, no entiendo donde ( a ) viene de. pensé que tal vez ( a ) se expresó como la transformada inversa de Fourier de la función de las dos variables ψ ( X , t ) , pero en este caso obtengo

(mi) ψ ( X , t ) = 1 2 π ∬ R 2 F [ ψ ( X , t ) ] ( w , k ) mi i ( k X + ω t ) d k d ω ,
que es diferente de ( a ) . Entonces, finalmente, mi pregunta es: ¿dónde ( a ) ¿viene de?

leer donde? ¿Cuál libro? ¿Qué tan diferente? ¿Diferencia entre qué dos fórmulas? ¿Estás preguntando sobre convenciones de signos, etc.?
@Qmechanic Lea en mi libro, pero también aquí: en.wikipedia.org/wiki/Wave_packet ; con "poco diferente" quise decir "diferente" (lo siento); No estoy preguntando sobre convenciones, solo el método matemático que le permite escribir un paquete de ondas en esa forma. Pensé que este método era simplemente una transformada de Fourier inversa, pero no lo es porque no da el mismo resultado.
Matemáticamente, es como una generalización de una expansión de Fourier: supones que puedes expandir tu función como una suma infinita de exponenciales complejos pero como una función en general no es periódica, tomas el período como infinito y obtienes la transformada de Fourier.

Respuestas (2)

Cuando escribimos un paquete de ondas, estamos tratando de resolver el siguiente problema: dado un perfil inicial para nuestro paquete de ondas, ψ ( X , 0 ) , ¿cómo será en el futuro? En otras palabras, queremos encontrar ψ ( X , t ) dado ψ ( X , 0 ) . Para resolver este problema, necesitamos tener alguna ecuación de onda que nos diga cómo evoluciona el paquete de ondas en el tiempo. Para diferentes ondas en diferentes contextos, tendremos diferentes ecuaciones de onda. Pero supondremos dos cosas sobre la ecuación de onda:

  • es lineal Esto significa que si ψ 1 ( X , t ) es una solución y ψ 2 ( X , t ) es una solución, entonces a 1 ψ 1 ( X , t ) + a 2 ψ 2 ( X , t ) es una solución Generalizando, significa que si ψ k ( X , t ) es una solución, también lo es ∫ d k   a k ψ k ( X , t ) .

  • Si partimos de un perfil inicial ψ ( X , 0 ) = mi i k X , entonces la solución a nuestra ecuación de onda es ψ ( X , t ) = mi i ( k X − ω k t ) , dónde ω k es una constante que puede depender de k .

Puede comprobar por sí mismo que las ecuaciones de onda genéricas, como la ecuación de una onda en una cuerda o la ecuación de Schrödinger, satisfacen estas propiedades. Ahora, una vez que sabemos que la ecuación de onda tiene estas propiedades, ¡podemos resolver nuestro problema!

Primero, nos damos cuenta de que por la propiedad (2), todas las funciones de la forma mi i ( k X − ω k t ) son soluciones a nuestra ecuación de onda. Eso significa que, por la propiedad (1), cualquier combinación lineal de estas funciones es también una solución a nuestra ecuación de onda. Así que podemos escribir una conjetura para la solución:

ψ ( X , t ) = 1 2 π ∫ d k   gramo ( k ) mi i ( k X − ω k t )

Hasta ahora, gramo ( k ) es solo una función desconocida. Cualquier elección de gramo ( k ) dará solución a la ecuación de onda, por las propiedades (1) y (2). Pero también necesitamos que nuestra solución coincida con nuestro perfil inicial, ψ ( X , 0 ) . enchufando t = 0 por lo tanto da una condición en gramo ( k ) :

ψ ( X , 0 ) = 1 2 π ∫ d k   gramo ( k ) mi i k X

Por el teorema de Fourier, podemos encontrar inmediatamente el gramo ( k ) .

gramo ( k ) = 1 2 π ∫ d X   ψ ( X , 0 ) mi − i k X

Nótese que la expresión para gramo ( k ) se refiere a un tiempo específico, t = 0 . Por lo tanto, no debe esperar poder obtener gramo ( k ) por el tiempo de transformada de Fourier, ya que el tiempo de transformada de Fourier elimina la referencia a un t punto. gramo ( k ) se define en t = 0 , no para tiempos generales.
¿Por qué escribes la combinación lineal entre soluciones primero como sumatoria y después como integral?
@Landau Es equivalente. Si sabes que la suma de dos soluciones es una solución, inmediatamente se sigue que la suma de norte soluciones es una solución. Queremos resumir todas las soluciones posibles (cada k), y como k es continua usamos una integral.
@Landau En general, las ecuaciones diferenciales lineales le permiten integrar sus soluciones porque la integración y la diferenciación conmutan ( d d X ∫ d k = ∫ d k   d d X ), para que pueda integrar una familia de soluciones para obtener una nueva solución.
@Landau Si lo desea, supongo que la ecuación de onda satisface la versión integral de la linealidad. No me importa la versión discreta.

Bueno, en cuanto a su origen... ¿qué tal si te doy una explicación de lo que significa cada uno en el contexto de la mecánica/física cuántica?

En 1-D, cualquier función analítica ψ ( X ) en ( − ∞ , + ∞ ) se puede escribir como la suma infinita de funciones sinusoidales.

Ahora supongamos que nuestra función ψ ( X ) es un t = 0 "instantánea" de una función dependiente del tiempo ψ ( X , t ) .

Usando esta instantánea, su segunda integral, conocida como la transformada de Fourier de ψ ( X , 0 ) , te da las fortalezas relativas gramo ( k ) de cada onda en la suma infinita que compone ψ . La amplitud real de cada onda contribuyente es gramo ( k ) d k , lo que significa que es una cantidad infinitesimal, pero algunas ondas aportan un infinitesimal "más grande" que otras. Aquí, k es real, pero gramo ( k ) es de valor complejo en general.

Ahora suponga que todas las funciones sinusoidales que suman el t = 0 función son en realidad t = 0 instantáneas de ondas armónicas viajeras , donde cada onda armónica se mueve a una velocidad de fase igual a ω / k cuando el reloj corre. En gran parte de la física, suele ocurrir que ω es una función de k . Si ω ( k ) = C k , dónde C es una constante, entonces podemos ver que la velocidad de fase de cada onda armónica es la misma; es solo C . Sin embargo, si ω es una función más complicada de k , entonces cada ola que contribuye a la sobre todo ψ la función viajará a una velocidad de fase diferente. Este es un concepto importante que explica por qué los paquetes de ondas que representan partículas se dispersan en el tiempo.

Entonces, lo que dice su primera integral es que la función de onda compleja dependiente del tiempo ψ ( X , t ) es la suma infinita de ondas armónicas viajeras, cada una con una amplitud relativa compleja de gramo ( k ) .

Si el componente de ondas que forman su t = 0 todas las funciones de onda viajan a la misma velocidad de fase, entonces verá que su función de onda viaja a la misma velocidad sin cambiar su forma. Sin embargo, si las ondas componentes tienen un rango de velocidades de fase diferentes, esto significa que su función de onda cambiará su forma con el tiempo.

Si la función g(k) parece una "curva de campana" centrada en algún promedio k 0 , entonces la parte real de su función de onda dependiente del tiempo se verá como un paquete de ondas oscilantes que se ensancha y disminuye en amplitud con el tiempo a medida que viaja.

Ok, el significado intuitivo de esas fórmulas fue bastante claro, pero estoy buscando el método matemático que te permita escribir un paquete de ondas en esa forma.
@Landau Estoy un poco confundido en cuanto a lo que quiere decir con método matemático que permite . Escribí una respuesta que eliminé porque era demasiado básica y no abordaba su pregunta completa. Tiene la imagen intuitiva (física), entonces, ¿qué parte (y lo digo sin ofender, en serio) de la simple extensión de la idea de la serie de Fourier a los paquetes de ondas es el problema? ¿Ha consultado con MathSE, ya que tiene la idea física, y MathSE se ocupa de las derivaciones y pruebas formales, si eso es lo que busca?
@Landau, ¿está preguntando por qué estas son las fórmulas correctas? Si es así, entonces la respuesta tiene que ver con cómo cambias los estados básicos en un espacio de Hilbert de una base de posición a una base de momento o viceversa.
Expresión de paquetes de ondas y transformadas de Fourier
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v