¿Por qué un polinomio no constante no puede tener un intervalo constante?

Suponer$P(x) = c$para todos$x \in [a, b]$con$a < b$y$P$es no constante. Entonces deja$n > 0$Sea el grado del polinomio. Entonces$Q(x) = P(x) - c$también es de grado$n$. Pero$Q$tiene raíces$a + \frac{i}{n} (b - a)$para$0 \leq i \leq n$, cual es$n + 1$raíces. y un polinomio de grado$n$con coeficientes en un campo puede tener como máximo$n$raíces. Contradicción.

Un polinomio de grado$n \gt 0$tiene como máximo$n$raíces. Un polinomio constante es de grado$0$.

Un polinomio no constante$p$… no puede ser constante. Por lo tanto es de grado$n\gt 0$. Si fuera constante e igual a$a$en un intervalo de longitud estrictamente positiva,$p-a$tendría un número infinito de raíces. una contradicción

Suponer$p$es un polinomio de grado$n$, es decir

y$p(x) = c$para$x\in (a,b)$. Elegir$n+1$puntos distintos de$(a,b)$,$x_0,\dots , x_n$. El sistema de ecuaciones$p(x_i) = c$Para el$a_i$se resuelve claramente por$a_0 = c$y$a_i = 0$de lo contrario. Sin embargo, dado que la matriz de coeficientes (la matriz de Vandermonde) es invertible siempre que el$x_i$son distintos*, la solución es única. De este modo,$p(x) \equiv c$.