¿Por qué todas las soluciones de la ecuación de movimiento armónico simple se pueden escribir en términos de senos y cosenos?

Esto se deriva del teorema de unicidad para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias , que establece que para una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de orden$n$, hay como máximo$n$Soluciones linealmente independientes.

El resultado de eso es que si tiene una EDO de segundo orden (como, por ejemplo, la del oscilador armónico) y puede construir, por cualquier medio que se le ocurra, dos soluciones linealmente independientes, entonces está garantizado que cualquier solución de la ecuación será una combinación lineal de sus dos soluciones.

Por lo tanto, no importa en absoluto cómo se llega a la propuesta de$\sin(\omega t)$y$\cos(\omega t)$como posibles soluciones: todo lo que necesita hacer es

1. verifique que sean soluciones, es decir, simplemente conéctelas a las derivadas y vea si el resultado es idénticamente cero; y
2. comprobar que son linealmente independientes.

Una vez que haga eso, los detalles de cómo construyó sus soluciones se vuelven completamente irrelevantes. Debido a esto, yo (y muchos otros) generalmente me refiero a esto como el Método de la Inspiración Divina: solo puedo decirles que la solución me llegó en un sueño, entregado por una masa voladora de espaguetis, y$-$no importa cuán artificial o elaborada parezca la solución$-$si pasa los dos criterios anteriores, el hecho de que sea la solución es infalible y no se requiere más explicación de cómo se construyó.

Si este marco no es claro o no le resulta familiar, entonces debe sentarse con un libro de texto introductorio sobre ecuaciones diferenciales. Hay un poco de fondo sustancial que aclara este tipo de cosas, y que simplemente no encaja dentro del formato de este sitio.

¿Cómo podemos asumir tan claramente que debería ser seno o coseno solamente?

Es literalmente solo una suposición. Esas son soluciones obvias que se pueden verificar fácilmente, y cuando son funciones tan sencillas, pronto podrá notarlas. Es como cuando tienes una ecuación como$f'(x)=K\times f(x)$, solo ves que las soluciones son exponenciales. Después de eso, sabes que para una ecuación diferencial como$f^{(n)}(x)=Kf(x)$puedes tener hasta$n$soluciones, por lo que no te estás perdiendo nada cuando consideras el seno y el coseno.

Es una buena idea no perder tiempo/esfuerzo/espacio resolviendo formalmente tales ecuaciones cuando las soluciones son canónicas.

Todas estas son respuestas buenas y correctas, pero responderé desde una perspectiva diferente.

Cualquier ecuación diferencial lineal de grado$n$tiene$n$soluciones linealmente independientes, es decir. estos$n$las soluciones abarcan un espacio vectorial, con conjuntos de soluciones que forman una base.

Para el movimiento armónico simple, la ecuación diferencial es:

Como se indicó en otras respuestas, uno puede tomar las soluciones como combinaciones lineales de$\sin(\omega t)$y$\cos(\omega t)$, o uno podría tomar$\exp(i\omega t)$y$\exp(-i\omega t)$. Ambos son conjuntos de funciones linealmente independientes, y ambos pares resuelven la ecuación, pero no son las mismas funciones: son dos conjuntos diferentes de funciones básicas .

Para pasar de un conjunto de soluciones a otro, es necesario cambiar la base.

Una forma de derivarlo es usando la serie de Taylor (aunque para ser completamente riguroso, esto requiere una justificación adicional para restringirlo a funciones analíticas). tenemos eso$f(x) = \sum a_n x^t$, entonces$f''(t)=\sum (n+1)(n+2)a_{n+2}t^n$. Si$f''(t)=-\frac k m f(t)$, entonces$(n+1)(n+2)a_{n+2} = -\frac k m a_n$, entonces$a_{n+2} = \frac {-k a_n}{(n+1)(n+2)m}$. Entonces$a_0$determina$a_2$, que determina$a_4$, etc, y$a_1$determina$a_3$que determina$a_5$, etcétera. Dado que todos los términos pares varían linealmente en función del término 0 y no dependen de los términos impares, y viceversa para los términos impares, podemos encontrar una solución$f_0$tomando$a_0=1, a_1=0$y$f_1$de$a_0=0, a_1=1$, y todas las soluciones serán una combinación lineal de$f_0$y$f_1$. Y si averiguas cuáles son esas soluciones, corresponden a coseno y seno, respectivamente.

También puedes llegar a seno y coseno tomando$f(t)=e^{at}$. Entonces$f''(t)=a^2e^{at}$, Así que si$f'' = -\frac km f$, entonces$a^2= -\frac km$. Esto lleva a las dos soluciones.$a = \pm i\sqrt{\frac km}$. Ninguna raíz da una solución real, pero$f(x) = \frac 12 (e^{ct} + e^{-ct})$y$f(x) = \frac 1{2i} (e^{ct} - e^{-ct})$, dónde$c = i\sqrt{\frac km}$, hacer. Corresponden a coseno y seno.