¿Más rápido que la amortiguación crítica para el oscilador armónico?

Echemos$k=1$por simplicidad. Entonces nuestra función$f(t)$como solución a la ecuación

$$\ddot f=-f-c \dot f,$$ $$f(0)=1,$$ $$\dot f(0)=0$$

se vera como:

$$f(t)=e^{-\frac{ct}2}\left(\cos\left(\frac12\sqrt{4-c^2}t\right)+\frac{c\sin\left(\frac12\sqrt{4-c^2}t\right)}{\sqrt{4-c^2}}\right).$$

La versión críticamente amortiguada es cuando tomamos el límite$c\to2$:

$$f_c(t)=e^{-t}(t+1).$$

Ahora comparemos$f(t)$con$f_c(t)$en el infinito Para$c>2$tenemos

$$\lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{f_c(t)}=\infty,$$

es decir, la sobreamortiguación hace que llegar a la posición de reposo sea infinitamente más lento a largo plazo ^* .

Ahora para$0<c<2$tenemos:

$$0<\sqrt{4-c^2}<2;$$

y el término

$$\frac{c\sin\left(\frac12\sqrt{4-c^2}t\right)}{\sqrt{4-c^2}}$$

oscilará con cierta amplitud, que tiende al infinito cuando$c\to2$.

Comparando ahora el factor restante de$e^{-\frac{ct}2}$con$f_c(t)$da

$$\lim_{t\to\infty}e^{t-\frac{ct}2}(t+1)=\lim_{t\to\infty}e^{\left(1-\frac{c}2\right)t}(t+1)=\infty,$$

como$1-\frac{c}2>0$. Por lo tanto, la subamortiguación también hace que el proceso de transición sea más lento a largo plazo.

Entonces, en resumen: no, no es posible acelerar el llegar a la posición de descanso mejor que la amortiguación crítica.

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_{* Encontré este límite en Mathematica. Estoy bastante seguro de que es correcto, ya que también he visto la trama de la función del tiempo y$c$, pero no dude en pedir más detalles si es necesario.}